حلول الأسئلة

السؤال

وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

الحل

اشتُقت نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع من النمط الذي يربط عدد أضلاع المضلع بعدد المثلثات والصيغة هي حاصل ضرب مجموع قياسات زوايا المثلث أي 180º في عدد المثلثات في المضلع.

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

مسائل مهارات التفكير العليا

الدرس الاول

43) اكتشف الخطأ: قالت مريم: إن مجموع قياسات الزوايا الخارجية للعشاري أكبر منه للسباعي لأن عدد أضلاع العشاري أكثر من أضلاع السباعي وقالت لبنى: إن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لكل المضلعين متساوي "فهل أي منهما ادعاؤها صحيح"؟ وضح تبريرك.

الحل:

لبنى؛ حسب نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية سيكون مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع يساوي $°$ 360.

44) تحدٍ: أوجد قيم c, b, a في الشكل السداسي المنتظم QRSTVX المجاور وبرر اجابتك .

شكل 45

الحل:

$°$ 60 , $°$ 90 , $°$ 30؛ حسب نظرية مجموع قياسات الزوايا الداخلية يكون مجموع قياسات الزوايا الداخلية $°$ 720 وبما أن المضلع QRSTVX منتظم فإن له 6 زوايا متطابقة وقياس كل زاوية $°$ 120 لذلك.

$m ∠ XVT = m ∠ XQR = 120^{\circ}$ وكذلك XQ = QR

وحسب نظرية المثلث متطابق الضلعين يكون.

$m ∠ QXR = m ∠ QRX$

وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث 180º فإن:

$m ∠ QXR + m ∠ QRX + m ∠ XQR = 180^{\circ}$

$\begin{aligned} a = 30^{\circ} ومنه 2 a = 60^{\circ} أن اي ، a + a + 120^{\circ} = 180^{\circ} أن ينتج بالتعويض \\ m ∠ Q R S = m ∠ Q R X + m ∠ X R S الزوايا جمع حسب مسلمة \\ m ∠ XRS + 30^{\circ} = 120^{\circ} ، وبالتعويض \\ m ∠ XRS = 90^{\circ} يكون بالطرحm ∠ XRS + 30^{\circ} = 120^{\circ} \\ b = 90 إذن \\ ΔXTS = ΔXRS و ΔXVT = ΔXQR يكون (SAS) وحسب \end{aligned}$

وبناءاً على مسلمة جمع الزوايا يكون:

$m ∠ VXQ = m ∠ VXT + m ∠ TXS + m ∠ SXR + m ∠ RXQ$

وبالتعويض:

$m ∠ TXS + m ∠ SXR + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$

إذن $m ∠ TXS + m ∠ SXR = 60^{\circ}$ وبما أن:

$m ∠ TXS + m ∠ SXR$ ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة فإن $m ∠ TXS = m ∠ SXR = 30^{\circ}$

وفي $m ∠ XTS + m ∠ TSX + m ∠ SXT = 180^{\circ}, ΔXTS$

وبالتعويض $, c + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ إذن $c = 60^{\circ}$

45) تبرير: إذا مد ضلعان لسداسي منتظم بحيث يلتقيان في نقطة خارجه فهل يكون المثلث الناتج متطابق الأضلاع دائماً أو أحياناً أو لا يمكن أن يكون متطابق الأضلاع أبداً؟ برر اجابتك.

الحل:

دائماً؛ حسب نظرية مجموع الزوايا الخارجية.

$m ∠ Q R P = 60^{\circ}, m ∠ Q P R = 60^{\circ}$

ولما كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي ضلع مثلث يساوي 180º فإن:

$\begin{array}{l} 180^{\circ} - m ∠ QPR - m ∠ QRP = m ∠ PQR \\ 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \end{array}$

إذن فالمثلث $ΔPQR$ متطابق الأضلاع.

حل 45

46) مسألة مفتوحة: ارسم مضلعاً وأوجد مجموع قياسات زواياه الداخلية.

ما عدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية مثل المجموع الذي أوجدته؟ برر اجابتك.

الحل:

شكل 46

مجموع قياسات الزوايا الداخلية لهذا المضلع يساوي.

ومثلاً هذا المجموع يساوي (540).2 أو 1080

وعدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية 1080º

وهو حل المعادلة $(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 1080^{\circ}$ ومنها 8 = n.

47) اكتب: وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

الحل:

تدريب على الاختبار

48) إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم والمستقيم $l$ يحوي $\bar{E A}$ ما قياس ( $∠ y$ )

شكل 48

الحل:

$\begin{array}{l} (5 - 2) \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ} \\ ∠ DEA = \frac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ} \\ ∠ Y = 180 - 108^{\circ} = 72^{\circ} \end{array}$

49) إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع مثلي مجموع قياسات زواياه الخارجية فما نوع هذا المضلع؟

مربع.
خماسي.
سداسي.
ثماني.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

مسائل مهارات التفكير العليا

الدرس الاول

43) اكتشف الخطأ: قالت مريم: إن مجموع قياسات الزوايا الخارجية للعشاري أكبر منه للسباعي لأن عدد أضلاع العشاري أكثر من أضلاع السباعي وقالت لبنى: إن مجموع قياسات الزوايا الخارجية لكل المضلعين متساوي "فهل أي منهما ادعاؤها صحيح"؟ وضح تبريرك.

الحل:

لبنى؛ حسب نظرية مجموع قياسات الزوايا الخارجية سيكون مجموع قياسات الزوايا الخارجية لأي مضلع يساوي $°$ 360.

44) تحدٍ: أوجد قيم c, b, a في الشكل السداسي المنتظم QRSTVX المجاور وبرر اجابتك .

شكل 45

الحل:

$m ∠ XVT = m ∠ XQR = 120^{\circ}$ وكذلك XQ = QR

وحسب نظرية المثلث متطابق الضلعين يكون.

$m ∠ QXR = m ∠ QRX$

وبما أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث 180º فإن:

$m ∠ QXR + m ∠ QRX + m ∠ XQR = 180^{\circ}$

وبناءاً على مسلمة جمع الزوايا يكون:

$m ∠ VXQ = m ∠ VXT + m ∠ TXS + m ∠ SXR + m ∠ RXQ$

وبالتعويض:

$m ∠ TXS + m ∠ SXR + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$

إذن $m ∠ TXS + m ∠ SXR = 60^{\circ}$ وبما أن:

$m ∠ TXS + m ∠ SXR$ ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة فإن $m ∠ TXS = m ∠ SXR = 30^{\circ}$

وفي $m ∠ XTS + m ∠ TSX + m ∠ SXT = 180^{\circ}, ΔXTS$

وبالتعويض $, c + 30^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ إذن $c = 60^{\circ}$

45) تبرير: إذا مد ضلعان لسداسي منتظم بحيث يلتقيان في نقطة خارجه فهل يكون المثلث الناتج متطابق الأضلاع دائماً أو أحياناً أو لا يمكن أن يكون متطابق الأضلاع أبداً؟ برر اجابتك.

الحل:

دائماً؛ حسب نظرية مجموع الزوايا الخارجية.

$m ∠ Q R P = 60^{\circ}, m ∠ Q P R = 60^{\circ}$

ولما كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لأي ضلع مثلث يساوي 180º فإن:

$\begin{array}{l} 180^{\circ} - m ∠ QPR - m ∠ QRP = m ∠ PQR \\ 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ} \end{array}$

إذن فالمثلث $ΔPQR$ متطابق الأضلاع.

حل 45

46) مسألة مفتوحة: ارسم مضلعاً وأوجد مجموع قياسات زواياه الداخلية.

ما عدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية مثل المجموع الذي أوجدته؟ برر اجابتك.

الحل:

شكل 46

مجموع قياسات الزوايا الداخلية لهذا المضلع يساوي.

ومثلاً هذا المجموع يساوي (540).2 أو 1080

وعدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية 1080º

وهو حل المعادلة $(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 1080^{\circ}$ ومنها 8 = n.

47) اكتب: وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

الحل:

تدريب على الاختبار

48) إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم والمستقيم $l$ يحوي $\bar{E A}$ ما قياس ( $∠ y$ )

شكل 48

الحل:

$\begin{array}{l} (5 - 2) \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ} \\ ∠ DEA = \frac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ} \\ ∠ Y = 180 - 108^{\circ} = 72^{\circ} \end{array}$

49) إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع مثلي مجموع قياسات زواياه الخارجية فما نوع هذا المضلع؟

مربع.
خماسي.
سداسي.
ثماني.

حلول الأسئلة

وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

مشاركة الحل

مسائل مهارات التفكير العليا

44) تحدٍ: أوجد قيم c, b, a في الشكل السداسي المنتظم QRSTVX المجاور وبرر اجابتك .

46) مسألة مفتوحة: ارسم مضلعاً وأوجد مجموع قياسات زواياه الداخلية.

ما عدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية مثل المجموع الذي أوجدته؟ برر اجابتك.

47) اكتب: وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

48) إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم والمستقيم يحوي ما قياس ()

49) إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع مثلي مجموع قياسات زواياه الخارجية فما نوع هذا المضلع؟

مشاركة الدرس

وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

مسائل مهارات التفكير العليا

44) تحدٍ: أوجد قيم c, b, a في الشكل السداسي المنتظم QRSTVX المجاور وبرر اجابتك .

46) مسألة مفتوحة: ارسم مضلعاً وأوجد مجموع قياسات زواياه الداخلية.

ما عدد أضلاع المضلع الذي مجموع قياسات زواياه الداخلية مثل المجموع الذي أوجدته؟ برر اجابتك.

47) اكتب: وضح العلاقة بين المثلثات ونظرية مجموع قياسات الزوايا الداخل للمضلع.

48) إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم والمستقيم يحوي ما قياس ()

49) إذا كان مجموع قياسات الزوايا الداخلية لمضلع مثلي مجموع قياسات زواياه الخارجية فما نوع هذا المضلع؟

48) إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم والمستقيم $l$ يحوي $\bar{E A}$ ما قياس ( $∠ y$ )

48) إجابة قصيرة: الشكل ABCDE خماسي منتظم والمستقيم $l$ يحوي $\bar{E A}$ ما قياس ( $∠ y$ )