حلول الأسئلة

السؤال

إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

الحل

$الاضلاع المتقابلة في متوازي الاضلاع متوازية وبما ان ميل \bar{BC} يساوي \frac{6 -}{2} فإن ميل \bar{AD} يساوي \frac{6 -}{2} ايضا$

ولتعيين الرأس D ابدأ من الرأس A وتحرك إلى الأسفل 6 وحدات وإلى اليمين وحدتين.

إذن الرأس D = (0 ,-1).

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل المسائل

الدرس الثاني متوازي الاضلاع

تدرب وحل المسائل

استعمل PQRS المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

7) $m ∠ R$

الحل:

كل زاويتين متحالفتين مجموعهم = 180º.

$\begin{array}{l} 128 + m ∠ Q R S = 180^{\circ} \\ m ∠ Q R S = 180^{\circ} - 128^{\circ} \\ m ∠ Q R S = 52^{\circ} \end{array}$

8) QR

الحل:

كل ضلعين متناظرين متطابقين في متوازي الأضلاع.

QR = PS = 3cm

9) QP

الحل:

كل ضلعين متناظرين متطابقين في متوازي الأضلاع.

QP = RS = 5 cm

10) $m ∠ S$ .

الحل:

كل زتويتين متقابلتين متساويتين.

$m ∠ Q = m ∠ S = 128^{\circ}$

11) ستائر: في الشكل المقابل صورة لشرائح ستائر النوافذ المتوازية دائماً لنسمح بدخول أشعة الشمس في FGHJ إذا كان $F J = \frac{3}{4} i n, F G = 1 i n, m ∠ J H G = 62 °$ فأوجد كلاً مما يأتي:

a) $J H$

الحل:

كل ضلعين في متوازي الأضلاع متقابلين متطابقين.

FG = JH =1in.

b) $G H$

الحل:

كل ضلعين في متوازي الأضلاع متقابلين متطابقين.

FG = GH= $\frac{3}{4}$ in

c) $m ∠ J F G$ .

الحل:

كل زاويتين في متوازي الأضلاع متقابلتين متطابقتين.

$m ∠ JHG = m ∠ JFG = 62^{\circ}$

d) $m ∠ F J H$

الحل:

كل زاويتين متحالفتين مجموعهم = 180º.

$\begin{array}{l} m ∠ JFG + m ∠ FJH = 180^{\circ} \\ 62^{\circ} + m ∠ FJH = 180^{\circ} \\ m ∠ FJH = 180^{\circ} - 62^{\circ} \\ m ∠ QRS = 118^{\circ} \end{array}$

جبر: أوجد قيمتي X,Y في كل من متوازيات الأضلاع الآتية:

12)

شكل 12

الحل:

بما أن الشكل متوازي أضلاع إذن كل ضلعين متقابلين متطابقين.

$\begin{array}{l} 3 x + 7 = 4 x \\ 4 x - 3 x = 7 \\ x = 7 \\ 2 y = y + 11 \\ 2 y - y = 11 \\ y = 11 \end{array}$

13)

شكل 13

الحل:

كل زاويتين متحالفتين مجموعهم = 180º.

$\begin{array}{l} x - 5 + 2 x + 11 = 180^{\circ} \\ x + 16 = 180 \\ x = 164 \\ x - 5 + 2 y = 180 \\ 164 - 5 + 2 y = 180 \\ 159 + 2 y = 180 \\ 2 y = 180 - 159 = 21 \\ y = 10.5 \end{array}$

14)

شكل 14

الحل:

قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.

$\begin{array}{l} x + 6 = 11 \\ x = 5 \\ 10 = y - 7 \\ y = 10 + 7 \\ y = 17 \end{array}$

هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري WXYZ $▱$ المعطاة رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين:

15) $W (- 1, 7), X (8, 7), Y (6, - 2), Z (- 3, - 2)$

الحل: بما أن قطري متوازي الأضلاع ينصف كلاً منهما الآخر فإن نقطة تقاطعهما هي نقطة منتصف كل من $\overset{}{\bar{W Y}}, \bar{X Z}$ أوجد منتصف $\bar{W Y}$ التي طرفيها $(- 1 \cdot 7), (6 - 2)$

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) = (\frac{- 1 + 6}{2}, \frac{7 - 2}{2})$ (صيغة نقطة المنتصف).

(2.5,2.5) (بالتبسيط).

إذاً إحداثيات نقطة تقاطع قطري $\bar{A B C D}$ هما (2.5,2.5)

16) $W (- 4, 5), X (5, 7), Y (4, - 2), Z (- 5, - 4)$

الحل: بما أن قطري متوازي الأضلاع ينصف كلاً منهما الآخر فإن نقطة تقاطعهما هي نقطة منتصف كل من $\overset{}{\bar{W Y}}, \bar{X Z}$ أوجد نقطة منتصف $\bar{W Y}$ التي طرفاها $(- 4 \cdot 5), (4 - 2)$

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) = (\frac{- 4 + 4}{2}, \frac{5 - 2}{2})$ (صيغة نقطة المنتصف).

$(0 \cdot 1.5)$ (بالتبسيط).

إذن إحداثيات نقطة تقاطع قطري $\bar{A B C D}$ هما $(0 \cdot 1.5)$ .

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين فيما يأتي:

17) المعطيات: $▱ W X T V, ▱ Z Y V T$

المطلوب: $\bar{W X} ≅ \bar{Z Y}$

الحل:

المعطيات: متوازي الأضلاع WXTV , ZYVT

المطلوب: $\bar{WX} ≅ \bar{ZY}$

البرهان:

العبارات(المبررات):

1) WXTV ,ZYVT متوازي أضلاع (معطى).

2) $\bar{WX} ≅ \bar{VT}, \bar{VT} ≅ \bar{YZ}$ (الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة).

3) $\bar{WX} ≅ \bar{YZ}$ (خاصية التعدي).

جبر: استعمل ABCD $▱$ المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

18) x

الحل: كل ضلعين متقابلين متطابقين.

$\begin{aligned} 2 x + 5 = 20 \\ 2 x = 20 - 5 \\ 2 x = 15 \\ x = 7.5 \end{aligned}$

19) y

الحل:

$\begin{aligned} 3 y - 9 = 24 \\ 3 y = 24 + 9 \\ 3 y = 33 \\ y = 11 \end{aligned}$

20) $m ∠ A F B$

الحل:

$\begin{aligned} ∠ AFB = 180 - 76 \\ ∠ AFB = 104^{\circ} \end{aligned}$

21) $m ∠ D A C$

الحل:

$\begin{array}{l} ∠ DAC = 180 - (76 + 22) \\ ∠ DAC = 82^{\circ} \end{array}$

22) $m ∠ A C D$

الحل:

$\begin{aligned} ∠ CAB = 180 - (∠ AFB + ∠ ABF) \\ ∠ CAB = 180 - (19 + 76) = 85^{\circ} \\ ∠ ACD = ∠ CAB = 85^{\circ} ً داخليا بالتبادل \end{aligned}$

23) $m ∠ D A B$

الحل:

$\begin{array}{l} ∠ AFD = 76 بالرأس بالتقابل \\ ∠ DAF = 180 - (76 + 22) = 82 \\ ∠ DAB = ∠ DAF + ∠ CAB \\ ∠ DAB = 82 + 85 = 167^{\circ} \end{array}$

24) هندسة إحداثية: إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

الحل:

$الاضلاع المتقابلة في متوازي الاضلاع متوازية وبما ان ميل \bar{BC} يساوي \frac{6 -}{2} فإن ميل \bar{AD} يساوي \frac{6 -}{2} ايضا$

ولتعيين الرأس D ابدأ من الرأس A وتحرك إلى الأسفل 6 وحدات وإلى اليمين وحدتين.

إذن الرأس D = (0 ,-1).

برهان: اكتب برهاناً من النوع المحدد في كل مما يأتي:

25) برهاناً ذا عمودين

المعطيات: GKLM متوازي أضلاع.

المطلوب: إثبات أن كل زاويتين في الأزواج التالية متكاملتان $∠ G و ∠ M, ∠ M و ∠ L, ∠ L و ∠ K, ∠ K و ∠ G$

(النظرية 1.5)

شكل 25

الحل:

البرهان:

العبارات (المبررات):

1) متوازي الأضلاع GKLM (معطى).

2) $\bar{GK} ∥ \bar{ML}, \bar{GM} ∥ \bar{KL}$ (الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متوازية).

3) $\ddot{E} G \ddot{E} M \ddot{E} M \ddot{E} L \ddot{E} L \ddot{E} K \ddot{E} G \ddot{E} K$

زوايا متكاملة: (كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متكاملتين).

26) برهاناً ذا عمودين.

العطيات: WXYZ متوازي أضلاع.

المطلوب: $△ W X Z ≅ △ Y Z X$

(النظرية 1.8)

شكل 26

الحل:

البرهان:

العبارات (المبررات):

1) متوازي الأضلاع WXYZ (معطى).

WX=ZY ,XY = WZ ضلعين متقابلين متطابقين.

XZ = ZX خاصية الانعكاس.

3) $ΔXYZ ≅ ΔYZX$ (SSS)

27) برهاناً ذا عمودين.

المعطيات: PQRS متوازي أضلاع.

المطلوب: $\bar{P Q} ≅ \bar{R S}, \bar{Q R} ≅ \bar{S P}$

(النظرية 1.3)

شكل 27

الحل:

البرهان:

العبارات (المبررات):

1) متوازي الأضلاع PQRS (معطى).

2) ارسم قطعة مستقيمة مساعدة PR (قطر PQRS) وسم الزوايا 1, 2, 3, 4 كما هو مبين.

3) $\bar{PQ} ∥ \bar{SR}, \bar{PS} ∥ \bar{QR}$ (الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متوازية).

4) $∠ 4 = ∠ 3 g, ∠ = 2 = ∠ 1$ (نظرية الزوايا المتبادلة داخلياً).

5) PR =RP (خاصية الانعكاس).

6) $(SAS) ΔQRP ≅ ΔSRP$

7) $\bar{PQ} ≅ \bar{RS}, \bar{QR} ≅ \bar{SP}$ (العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة).

28) برهاناً حراً.

المعطيات: ACDE متوازي أضلاع.

المطلوب: القطران $\bar{A D} و \bar{E C}$ ينصف كل منهما الآخر (النظرية 1.7).

الحل:

البرهان: معطى أن ACDE متوازي أضلاع.

بما أن الأضلاع المتقابلة لتوازي الأضلاع متطابقة فإن $. \bar{EA} ≅ \bar{DC}$

ومن تعريف متوازي الأضلاع $\bar{EA} ∥ \bar{DC}$

وتكون $∠ CDB ≅ ∠ EAB و ∠ DCB ≅ ∠ AEB$ لأن الزوايا المتبادلة داخلياً متطابقة.

لأن الزوايا المتبادلة داخلياً متطابقة إذن $EBA ≅ ΔCBD$ حسب ASA و $\bar{AB} ≅ \bar{BD}, \bar{EB} ≅ \bar{BC}$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة ومن تعريف منصف القطعة المستقيمة فإن $\bar{E C}$ تنصف $\bar{A D}$ و $\bar{A D}$ تنصف $\bar{E C}$

29) هندسة إحداثية: استعن بالشكل المجاور في كل مما يأتي:

a) استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحديد ما إذا كان قطرا JKLM ينصف كل منهما الآخر وضح اجابتك.

الحل:

$\begin{array}{l} (- 3, 2) \cdot (2, 5) \\ PK = \sqrt{(- 3 - 2)^{2} + (2 - 5)^{2}} \\ PK = \sqrt{34} \\ (- 8, - 1) \cdot (- 3, 2) \\ MP = \sqrt{(- 8 + 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2}} \\ MP = \sqrt{34} \\ MP = PK = \sqrt{34} \\ L, P = (- 1, - 1) \cdot (- 3, 2) \\ LP = \sqrt{(- 1 + 3)^{2} + (- 1 - 2)^{2}} \\ LP = \sqrt{13} \\ J, P = (- 5, 5) \cdot (- 3, 2) \\ JP = \sqrt{(- 5 + 3)^{2} + (5 - 2)^{2}} \\ JP = \sqrt{13} \\ JP = LP = \sqrt{13} \end{array}$

بما أن JP = LP , MP = KP فإن القطرين ينصف كل منهما الآخر.

b) حدد ما إذا كان قطرا JKLM متطابقين وضح اجابتك.

الحل: لا؛ $J P + L P \neq M P + K P$

c) استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان كل ضلعين متتالين متعامدين أم لا وضح اجابتك.

الحل: لا؛ ميل JK يساوي 0 وميل JM يساوي 2 إحداهما لا يساوي سالب معكوس الآخر.

30) رافعات: في الشكل المجاور: ABCD ,GDEF متوازيا أضلاع متطابقان.

a) حدد الزوايا التي تطابق $∠ A$ وضح تبريرك.

الحل: الزوايا C، E، G إجابة ممكنة: $∠ A ≅ ∠ C$ لأن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة.

$∠ A ≅ ∠ E$ لأن متوازيي الأضلاع متطابقان $∠ E ≅ ∠ G$ لأن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة وتطابق $∠ A$ حسب خاصية التعدي.

b) حدد القطع المستقيمة التي تطابق $\bar{B C}$ وضح تبريرك.

الحل:

$\bar{AD}, \bar{DE}, \bar{GF}$

$\bar{BC} ≅ \bar{AD}$ لأن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة.

$\bar{BC} ≅ \bar{DE}$ لأن متوازيي الأضلاع متطابقاً

$\bar{DE} ≅ \bar{GF}$ لأن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة وتطابق $\bar{B C}$ حسب خاصية التعدي.

c) حدد الزوايا المكملة للزاوية C وضح تبريرك.

الحل:

الزوايا $∠ ABC, ∠ ADC, ∠ EDG, ∠ EFG$

$∠ ADC و ∠ ABC$ مكملتان $∠ C$ لأن الزوايا المتخالفة في متوازي الأضلاع متكاملة.

$∠ E D G$ مكملة $∠ C$ لأنها تطابق $∠ A D C$ حسب نظرية الزوايا المتقابلة بالرأس ومكملة $∠ C$ بالتعويض $∠ E F G$ تطابق $∠ E D G$ لأن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة ومكملة -- بالتعويض.

31) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة اختبارات لتمييز متوازي الأضلاع.

a) ارسم ثلاث من القطع المستقيمة المتطابقة والمتوازية صل الأطراف لتكون أشكالاً رباعية وسمها ABCD,MNOP,WXYZ ثم قس أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا لكل منها.

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

الشكل الرباعي	هل الاضلاع المتقابلة متطابقة؟	هل الزوايا المتقابلة متطابقة؟	هل الشكل متوازي أضلاع؟
ABCD	نعم	نعم	نعم
MNOP	نعم	نعم	نعم
WXYZ	نعم	نعم	نعم

C) لفظياً: ضع تخميناً حول الأشكال الرباعية التي لها ضلعان متطابقان ومتوازيان.

الحل: إذا كان في الشكل الرباعي ضلعان متوازيان ومتطابقان فإن هذا الشكل متوازي أضلاع.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل المسائل

الدرس الثاني متوازي الاضلاع

تدرب وحل المسائل

استعمل PQRS المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

7) $m ∠ R$

الحل:

كل زاويتين متحالفتين مجموعهم = 180º.

$\begin{array}{l} 128 + m ∠ Q R S = 180^{\circ} \\ m ∠ Q R S = 180^{\circ} - 128^{\circ} \\ m ∠ Q R S = 52^{\circ} \end{array}$

8) QR

الحل:

كل ضلعين متناظرين متطابقين في متوازي الأضلاع.

QR = PS = 3cm

9) QP

الحل:

كل ضلعين متناظرين متطابقين في متوازي الأضلاع.

QP = RS = 5 cm

10) $m ∠ S$ .

الحل:

كل زتويتين متقابلتين متساويتين.

$m ∠ Q = m ∠ S = 128^{\circ}$

11) ستائر: في الشكل المقابل صورة لشرائح ستائر النوافذ المتوازية دائماً لنسمح بدخول أشعة الشمس في FGHJ إذا كان $F J = \frac{3}{4} i n, F G = 1 i n, m ∠ J H G = 62 °$ فأوجد كلاً مما يأتي:

a) $J H$

الحل:

كل ضلعين في متوازي الأضلاع متقابلين متطابقين.

FG = JH =1in.

b) $G H$

الحل:

كل ضلعين في متوازي الأضلاع متقابلين متطابقين.

FG = GH= $\frac{3}{4}$ in

c) $m ∠ J F G$ .

الحل:

كل زاويتين في متوازي الأضلاع متقابلتين متطابقتين.

$m ∠ JHG = m ∠ JFG = 62^{\circ}$

d) $m ∠ F J H$

الحل:

كل زاويتين متحالفتين مجموعهم = 180º.

$\begin{array}{l} m ∠ JFG + m ∠ FJH = 180^{\circ} \\ 62^{\circ} + m ∠ FJH = 180^{\circ} \\ m ∠ FJH = 180^{\circ} - 62^{\circ} \\ m ∠ QRS = 118^{\circ} \end{array}$

جبر: أوجد قيمتي X,Y في كل من متوازيات الأضلاع الآتية:

12)

شكل 12

الحل:

بما أن الشكل متوازي أضلاع إذن كل ضلعين متقابلين متطابقين.

$\begin{array}{l} 3 x + 7 = 4 x \\ 4 x - 3 x = 7 \\ x = 7 \\ 2 y = y + 11 \\ 2 y - y = 11 \\ y = 11 \end{array}$

13)

شكل 13

الحل:

كل زاويتين متحالفتين مجموعهم = 180º.

$\begin{array}{l} x - 5 + 2 x + 11 = 180^{\circ} \\ x + 16 = 180 \\ x = 164 \\ x - 5 + 2 y = 180 \\ 164 - 5 + 2 y = 180 \\ 159 + 2 y = 180 \\ 2 y = 180 - 159 = 21 \\ y = 10.5 \end{array}$

14)

شكل 14

الحل:

قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر.

$\begin{array}{l} x + 6 = 11 \\ x = 5 \\ 10 = y - 7 \\ y = 10 + 7 \\ y = 17 \end{array}$

هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري WXYZ $▱$ المعطاة رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين:

15) $W (- 1, 7), X (8, 7), Y (6, - 2), Z (- 3, - 2)$

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) = (\frac{- 1 + 6}{2}, \frac{7 - 2}{2})$ (صيغة نقطة المنتصف).

(2.5,2.5) (بالتبسيط).

إذاً إحداثيات نقطة تقاطع قطري $\bar{A B C D}$ هما (2.5,2.5)

16) $W (- 4, 5), X (5, 7), Y (4, - 2), Z (- 5, - 4)$

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}) = (\frac{- 4 + 4}{2}, \frac{5 - 2}{2})$ (صيغة نقطة المنتصف).

$(0 \cdot 1.5)$ (بالتبسيط).

إذن إحداثيات نقطة تقاطع قطري $\bar{A B C D}$ هما $(0 \cdot 1.5)$ .

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين فيما يأتي:

17) المعطيات: $▱ W X T V, ▱ Z Y V T$

المطلوب: $\bar{W X} ≅ \bar{Z Y}$

الحل:

المعطيات: متوازي الأضلاع WXTV , ZYVT

المطلوب: $\bar{WX} ≅ \bar{ZY}$

البرهان:

العبارات(المبررات):

1) WXTV ,ZYVT متوازي أضلاع (معطى).

2) $\bar{WX} ≅ \bar{VT}, \bar{VT} ≅ \bar{YZ}$ (الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة).

3) $\bar{WX} ≅ \bar{YZ}$ (خاصية التعدي).

جبر: استعمل ABCD $▱$ المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

18) x

الحل: كل ضلعين متقابلين متطابقين.

$\begin{aligned} 2 x + 5 = 20 \\ 2 x = 20 - 5 \\ 2 x = 15 \\ x = 7.5 \end{aligned}$

19) y

الحل:

$\begin{aligned} 3 y - 9 = 24 \\ 3 y = 24 + 9 \\ 3 y = 33 \\ y = 11 \end{aligned}$

20) $m ∠ A F B$

الحل:

$\begin{aligned} ∠ AFB = 180 - 76 \\ ∠ AFB = 104^{\circ} \end{aligned}$

21) $m ∠ D A C$

الحل:

$\begin{array}{l} ∠ DAC = 180 - (76 + 22) \\ ∠ DAC = 82^{\circ} \end{array}$

22) $m ∠ A C D$

الحل:

$\begin{aligned} ∠ CAB = 180 - (∠ AFB + ∠ ABF) \\ ∠ CAB = 180 - (19 + 76) = 85^{\circ} \\ ∠ ACD = ∠ CAB = 85^{\circ} ً داخليا بالتبادل \end{aligned}$

23) $m ∠ D A B$

الحل:

$\begin{array}{l} ∠ AFD = 76 بالرأس بالتقابل \\ ∠ DAF = 180 - (76 + 22) = 82 \\ ∠ DAB = ∠ DAF + ∠ CAB \\ ∠ DAB = 82 + 85 = 167^{\circ} \end{array}$

24) هندسة إحداثية: إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

الحل:

$الاضلاع المتقابلة في متوازي الاضلاع متوازية وبما ان ميل \bar{BC} يساوي \frac{6 -}{2} فإن ميل \bar{AD} يساوي \frac{6 -}{2} ايضا$

ولتعيين الرأس D ابدأ من الرأس A وتحرك إلى الأسفل 6 وحدات وإلى اليمين وحدتين.

إذن الرأس D = (0 ,-1).

برهان: اكتب برهاناً من النوع المحدد في كل مما يأتي:

25) برهاناً ذا عمودين

المعطيات: GKLM متوازي أضلاع.

المطلوب: إثبات أن كل زاويتين في الأزواج التالية متكاملتان $∠ G و ∠ M, ∠ M و ∠ L, ∠ L و ∠ K, ∠ K و ∠ G$

(النظرية 1.5)

شكل 25

الحل:

البرهان:

العبارات (المبررات):

1) متوازي الأضلاع GKLM (معطى).

2) $\bar{GK} ∥ \bar{ML}, \bar{GM} ∥ \bar{KL}$ (الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متوازية).

3) $\ddot{E} G \ddot{E} M \ddot{E} M \ddot{E} L \ddot{E} L \ddot{E} K \ddot{E} G \ddot{E} K$

زوايا متكاملة: (كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متكاملتين).

26) برهاناً ذا عمودين.

العطيات: WXYZ متوازي أضلاع.

المطلوب: $△ W X Z ≅ △ Y Z X$

(النظرية 1.8)

شكل 26

الحل:

البرهان:

العبارات (المبررات):

1) متوازي الأضلاع WXYZ (معطى).

WX=ZY ,XY = WZ ضلعين متقابلين متطابقين.

XZ = ZX خاصية الانعكاس.

3) $ΔXYZ ≅ ΔYZX$ (SSS)

27) برهاناً ذا عمودين.

المعطيات: PQRS متوازي أضلاع.

المطلوب: $\bar{P Q} ≅ \bar{R S}, \bar{Q R} ≅ \bar{S P}$

(النظرية 1.3)

شكل 27

الحل:

البرهان:

العبارات (المبررات):

1) متوازي الأضلاع PQRS (معطى).

2) ارسم قطعة مستقيمة مساعدة PR (قطر PQRS) وسم الزوايا 1, 2, 3, 4 كما هو مبين.

3) $\bar{PQ} ∥ \bar{SR}, \bar{PS} ∥ \bar{QR}$ (الأضلاع المتقابلة لمتوازي الأضلاع متوازية).

4) $∠ 4 = ∠ 3 g, ∠ = 2 = ∠ 1$ (نظرية الزوايا المتبادلة داخلياً).

5) PR =RP (خاصية الانعكاس).

6) $(SAS) ΔQRP ≅ ΔSRP$

7) $\bar{PQ} ≅ \bar{RS}, \bar{QR} ≅ \bar{SP}$ (العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة).

28) برهاناً حراً.

المعطيات: ACDE متوازي أضلاع.

المطلوب: القطران $\bar{A D} و \bar{E C}$ ينصف كل منهما الآخر (النظرية 1.7).

الحل:

البرهان: معطى أن ACDE متوازي أضلاع.

بما أن الأضلاع المتقابلة لتوازي الأضلاع متطابقة فإن $. \bar{EA} ≅ \bar{DC}$

ومن تعريف متوازي الأضلاع $\bar{EA} ∥ \bar{DC}$

وتكون $∠ CDB ≅ ∠ EAB و ∠ DCB ≅ ∠ AEB$ لأن الزوايا المتبادلة داخلياً متطابقة.

29) هندسة إحداثية: استعن بالشكل المجاور في كل مما يأتي:

a) استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحديد ما إذا كان قطرا JKLM ينصف كل منهما الآخر وضح اجابتك.

الحل:

بما أن JP = LP , MP = KP فإن القطرين ينصف كل منهما الآخر.

b) حدد ما إذا كان قطرا JKLM متطابقين وضح اجابتك.

الحل: لا؛ $J P + L P \neq M P + K P$

c) استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان كل ضلعين متتالين متعامدين أم لا وضح اجابتك.

الحل: لا؛ ميل JK يساوي 0 وميل JM يساوي 2 إحداهما لا يساوي سالب معكوس الآخر.

30) رافعات: في الشكل المجاور: ABCD ,GDEF متوازيا أضلاع متطابقان.

a) حدد الزوايا التي تطابق $∠ A$ وضح تبريرك.

الحل: الزوايا C، E، G إجابة ممكنة: $∠ A ≅ ∠ C$ لأن الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة.

b) حدد القطع المستقيمة التي تطابق $\bar{B C}$ وضح تبريرك.

الحل:

$\bar{AD}, \bar{DE}, \bar{GF}$

$\bar{BC} ≅ \bar{AD}$ لأن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة.

$\bar{BC} ≅ \bar{DE}$ لأن متوازيي الأضلاع متطابقاً

$\bar{DE} ≅ \bar{GF}$ لأن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة وتطابق $\bar{B C}$ حسب خاصية التعدي.

c) حدد الزوايا المكملة للزاوية C وضح تبريرك.

الحل:

الزوايا $∠ ABC, ∠ ADC, ∠ EDG, ∠ EFG$

$∠ ADC و ∠ ABC$ مكملتان $∠ C$ لأن الزوايا المتخالفة في متوازي الأضلاع متكاملة.

31) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة اختبارات لتمييز متوازي الأضلاع.

a) ارسم ثلاث من القطع المستقيمة المتطابقة والمتوازية صل الأطراف لتكون أشكالاً رباعية وسمها ABCD,MNOP,WXYZ ثم قس أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا لكل منها.

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

الشكل الرباعي	هل الاضلاع المتقابلة متطابقة؟	هل الزوايا المتقابلة متطابقة؟	هل الشكل متوازي أضلاع؟
ABCD	نعم	نعم	نعم
MNOP	نعم	نعم	نعم
WXYZ	نعم	نعم	نعم

C) لفظياً: ضع تخميناً حول الأشكال الرباعية التي لها ضلعان متطابقان ومتوازيان.

الحل: إذا كان في الشكل الرباعي ضلعان متوازيان ومتطابقان فإن هذا الشكل متوازي أضلاع.

حلول الأسئلة

إذا كانت رؤوساً في فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

مشاركة الحل

تدرب وحل المسائل

استعمل PQRS المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

7)

8) QR

9) QP

10) .

11) ستائر: في الشكل المقابل صورة لشرائح ستائر النوافذ المتوازية دائماً لنسمح بدخول أشعة الشمس في FGHJ إذا كان فأوجد كلاً مما يأتي:

a)

b)

c) .

d)

جبر: أوجد قيمتي X,Y في كل من متوازيات الأضلاع الآتية:

12)

13)

14)

هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري WXYZ المعطاة رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين:

15)

16)

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين فيما يأتي:

17) المعطيات:

المطلوب:

جبر: استعمل ABCD المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

18) x

19) y

20)

21)

22)

23)

24) هندسة إحداثية: إذا كانت رؤوساً في فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

برهان: اكتب برهاناً من النوع المحدد في كل مما يأتي:

25) برهاناً ذا عمودين

المعطيات: GKLM متوازي أضلاع.

المطلوب: إثبات أن كل زاويتين في الأزواج التالية متكاملتان

(النظرية 1.5)

26) برهاناً ذا عمودين.

العطيات: WXYZ متوازي أضلاع.

المطلوب:

(النظرية 1.8)

27) برهاناً ذا عمودين.

المعطيات: PQRS متوازي أضلاع.

المطلوب:

(النظرية 1.3)

28) برهاناً حراً.

المعطيات: ACDE متوازي أضلاع.

المطلوب: القطران ينصف كل منهما الآخر (النظرية 1.7).

29) هندسة إحداثية: استعن بالشكل المجاور في كل مما يأتي:

a) استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحديد ما إذا كان قطرا JKLM ينصف كل منهما الآخر وضح اجابتك.

b) حدد ما إذا كان قطرا JKLM متطابقين وضح اجابتك.

c) استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان كل ضلعين متتالين متعامدين أم لا وضح اجابتك.

30) رافعات: في الشكل المجاور: ABCD ,GDEF متوازيا أضلاع متطابقان.

a) حدد الزوايا التي تطابق وضح تبريرك.

b) حدد القطع المستقيمة التي تطابق وضح تبريرك.

c) حدد الزوايا المكملة للزاوية C وضح تبريرك.

31) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة اختبارات لتمييز متوازي الأضلاع.

a) ارسم ثلاث من القطع المستقيمة المتطابقة والمتوازية صل الأطراف لتكون أشكالاً رباعية وسمها ABCD,MNOP,WXYZ ثم قس أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا لكل منها.

b) جدولياً: أكمل الجدول الآتي:

C) لفظياً: ضع تخميناً حول الأشكال الرباعية التي لها ضلعان متطابقان ومتوازيان.

مشاركة الدرس

إذا كانت رؤوساً في فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

تدرب وحل المسائل

استعمل PQRS المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

7)

8) QR

9) QP

10) .

11) ستائر: في الشكل المقابل صورة لشرائح ستائر النوافذ المتوازية دائماً لنسمح بدخول أشعة الشمس في FGHJ إذا كان فأوجد كلاً مما يأتي:

a)

b)

c) .

d)

جبر: أوجد قيمتي X,Y في كل من متوازيات الأضلاع الآتية:

12)

13)

14)

هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري WXYZ المعطاة رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين:

15)

16)

إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

7) $m ∠ R$

10) $m ∠ S$ .

11) ستائر: في الشكل المقابل صورة لشرائح ستائر النوافذ المتوازية دائماً لنسمح بدخول أشعة الشمس في FGHJ إذا كان $F J = \frac{3}{4} i n, F G = 1 i n, m ∠ J H G = 62 °$ فأوجد كلاً مما يأتي:

a) $J H$

b) $G H$

c) $m ∠ J F G$ .

d) $m ∠ F J H$

هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري WXYZ $▱$ المعطاة رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين:

15) $W (- 1, 7), X (8, 7), Y (6, - 2), Z (- 3, - 2)$

16) $W (- 4, 5), X (5, 7), Y (4, - 2), Z (- 5, - 4)$

17) المعطيات: $▱ W X T V, ▱ Z Y V T$

المطلوب: $\bar{W X} ≅ \bar{Z Y}$

جبر: استعمل ABCD $▱$ المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

20) $m ∠ A F B$

21) $m ∠ D A C$

22) $m ∠ A C D$

23) $m ∠ D A B$

24) هندسة إحداثية: إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

المطلوب: إثبات أن كل زاويتين في الأزواج التالية متكاملتان $∠ G و ∠ M, ∠ M و ∠ L, ∠ L و ∠ K, ∠ K و ∠ G$

المطلوب: $△ W X Z ≅ △ Y Z X$

المطلوب: $\bar{P Q} ≅ \bar{R S}, \bar{Q R} ≅ \bar{S P}$

المطلوب: القطران $\bar{A D} و \bar{E C}$ ينصف كل منهما الآخر (النظرية 1.7).

a) حدد الزوايا التي تطابق $∠ A$ وضح تبريرك.

b) حدد القطع المستقيمة التي تطابق $\bar{B C}$ وضح تبريرك.

إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

7) $m ∠ R$

10) $m ∠ S$ .

11) ستائر: في الشكل المقابل صورة لشرائح ستائر النوافذ المتوازية دائماً لنسمح بدخول أشعة الشمس في FGHJ إذا كان $F J = \frac{3}{4} i n, F G = 1 i n, m ∠ J H G = 62 °$ فأوجد كلاً مما يأتي:

a) $J H$

b) $G H$

c) $m ∠ J F G$ .

d) $m ∠ F J H$

هندسة إحداثية: أوجد إحداثيات نقطة تقاطع قطري WXYZ $▱$ المعطاة رؤوسه في كل من السؤالين الآتيين:

15) $W (- 1, 7), X (8, 7), Y (6, - 2), Z (- 3, - 2)$

16) $W (- 4, 5), X (5, 7), Y (4, - 2), Z (- 5, - 4)$

17) المعطيات: $▱ W X T V, ▱ Z Y V T$

المطلوب: $\bar{W X} ≅ \bar{Z Y}$

جبر: استعمل ABCD $▱$ المبين جانباً لإيجاد كل مما يأتي:

20) $m ∠ A F B$

21) $m ∠ D A C$

22) $m ∠ A C D$

23) $m ∠ D A B$

24) هندسة إحداثية: إذا كانت $A (- 2, 5), B (2, 2), C (4, - 4)$ رؤوساً في $▱ A B C D$ فأوجد إحداثيات الرأس D وضح تبريرك.

المطلوب: إثبات أن كل زاويتين في الأزواج التالية متكاملتان $∠ G و ∠ M, ∠ M و ∠ L, ∠ L و ∠ K, ∠ K و ∠ G$

المطلوب: $△ W X Z ≅ △ Y Z X$

المطلوب: $\bar{P Q} ≅ \bar{R S}, \bar{Q R} ≅ \bar{S P}$

المطلوب: القطران $\bar{A D} و \bar{E C}$ ينصف كل منهما الآخر (النظرية 1.7).

a) حدد الزوايا التي تطابق $∠ A$ وضح تبريرك.

b) حدد القطع المستقيمة التي تطابق $\bar{B C}$ وضح تبريرك.