حلول الأسئلة

السؤال

في الأسئلة ٢٦ - ٢٨، أجب عما يأتي:

ص = -٢س ٢ -٨س + ١

حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

الحل

قيمة عظمى، لأن أ = - ٢ وهي قيمة سالبة إذن المنحنى مفتوح لأسفل.

شاهد حلول جميع الاسئلة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الدوال التربيعية

تدرب وحل المسائل

استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانياً، وحدد مجالها ومداها.

١٧) ص = س٢ + ٤س + ٦

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than ٢}

تمثيل بياني

س ٠
ص ٦ ٣ ٢ ٣ ٦

١٨) ص = ٢س٢ + ٤س + ٧

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than ٥}

تمثيل بياني

س ٠ ١
ص ١٣ ٧ ٥ ٧ ١٣

١٩) ص = ٢س٢ - ٨س -٥

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than -١٣}

تمثيل بياني

س ٤ ٣ ٢ ١ ٠
ص -١١ -١٣ -١١

أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي:

٢٠) تمثيل القيم

الرأس = (-٣، -٦)، محور التماثل س = -٣، المقطع الصادي = ٤.

٢١) تمثيل القيم

الرأس = (٠، -٤)، محور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = -٤.

٢٢) تمثيل القيم

الرأس = (٠، ٠)، محور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = ٠

تقنية: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل والمقطع الصادي لكل دالة فيما يلي، ومثلها بيانياً باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية.

٢٣) ص = س٢ +٨س + ١٠

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract

س = right to left fraction numerator negative ٨ over denominator ٢ cross times space ١ end fract = -٤

معادلة محور التماثل هي س = -٤

وعند س = -٤

ص = ١٦ - ٣٢ + ١٠ = - ٦

إذن الرأس هي (-٤، - ٦)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١٠

٢٤) ص = ٢س٢ +١٢س + ١٠

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract

س = right to left fraction numerator negative ١٢ over denominator ٢ cross times space ٢ end frac = -٣

معادلة محور التماثل هي س = -٣

وعند س = -٣

ص = ١٨ - ٣٦ + ١٠ = - ٨

إذن الرأس هي (-٣، - ٨)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١٠

٢٥) ص = -٣س٢ -٦س + ٧

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract

س = right to left fraction numerator ٦ over denominator ٢ cross times space minus ٣ end fract = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١

وعند س = -١

ص = -٣ + ٦ + ٧ = ١٠

إذن الرأس هي (-١، ١٠)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٧

في الأسئلة ٢٦ - ٢٨، أجب عما يأتي:

٢٦) ص = -٢س٢ -٨س + ١

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة عظمى، لأن أ = - ٢ وهي قيمة سالبة إذن المنحنى مفتوح لأسفل.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة العظمى هي ٩،

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis negative ٨ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space minus ٢ end fract = -٢

ص = - ٨ + ١٦ + ١ = ٩

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص right to left less or equal than ٩}

٢٧) ص = س٢ +٤س - ٥

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة صغرى، لأن أ = ١ وهي قيمة موجبة إذن المنحنى مفتوح لأعلى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة الصغرى هي -٩،

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis ٤ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space ١ end fract = -٢

ص = ٤ - ٨ - ٥ = -٩

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than -٩}

٢٨) ص = -٣س٢ -٦س + ٧

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة صغرى، لأن أ = ٣ وهي قيمة موجبة إذن المنحنى مفتوح لأعلى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة العظمى هي -٤٨،

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis ١٨ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space ٣ end frac = -٣

ص = ٢٧ - ٥٤ - ٢١ = -٤٨

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than -٤٨}

مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً:

٢٩) ص = -٣س٢ +٦س - ٤

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative ٦ over denominator ٢ space cross times space minus ٣ end fract = ١

معادلة محور التماثل هي س = ١ وعند س = ١

ص = - ٣ + ٦ - ٤ = -١

إذن الرأس هي (١، -١)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٤

تمثيل بياني

٣٠) ص = -٢س٢ -٤س - ٣

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis negative ٤ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space minus ٢ end fract = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١ وعند س = -١

ص = - ٢ + ٤ - ٣ = -١

إذن الرأس هي (-١، -١)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٣

تمثيل بياني

٣١) ص = ٣س٢ -١٢س + ٥

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis negative ١٢ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space ٣ end frac = ٢

معادلة محور التماثل هي س = ٢ وعند س = ٢

ص = ١٢ - ٢٤ + ٥ = -٧

إذن الرأس هي (٢، -٧)

وبما أن أ قيمة موجبة فالتمثيل مفتوح لأعلى لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٥

٣٢) كرة قدم: قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدماً في الثانية، والدالة ع = -١٦ن + ٩٠ تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية.

أ) ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟

ع = -١٦ن + ٩٠ن

ع = - ١٦ × ١ + ٩٠(١) = ٧٤ قدماُ.

ب) متى تكون الكرة على ارتفاع ١٢٦ قدماً؟

١٢٦ = -١٦ن٢ + ٩٠ن

١٦ن٢ -٩٠ن + ١٢٦ = ٠

٨ن٢ - ٤٥ن + ٦٣ = ٠

ن = right to left fraction numerator negative ب space plus-or-minus square root of ب to the power of ٢ space minus space ٤ أ space جـ end root over denominator ٢ أ end

ن = right to left fraction numerator ٤٥ space plus-or-minus square root of ٤٥ to the power of ٢ space minus space ٤ cross times space ٨ space cross times space ٦٣ end root over denominator ٢ space cross times space ٨ e

ن = right to left fraction numerator ٤٥ space plus space ٩ over denominator ١٦ end fra ٣,٤ ≈ ٣ ثوان تقريباً.

ن = right to left fraction numerator ٤٥ space minus space ٩ over denominator ١٦ end fra = ٢,٦٣ ثانية تقريباً.

جـ) ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟

١٢٦,٦ قدم تقريباً.

٣٣) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة حل المعادلات التربيعية باستعمال جداول القيم.

أ) جبرياً: حدد الدالة المرتبطة بكل معادلة فيما يأتي، ثم انسخ الجدول وأكمله.

المعادلة الدالة المرتبطة الأصفار
س٢ - س = ١٢ ص = س٢ - س - ١٢ -٣، ٤
س٢ +٨ س = ٩ ص = س٢ +٨ س - ٩ -٩، ١
س٢ = ١٤س - ٢٤ ص = س٢ - ١٤س + ٢٤ ٢، ١٢
س٢ +١٦ س = -٢٨ ص = س٢ +١٦ س + ٢٨ -١٤، -٢

ب) بيانياً: مثل كل دالة مرتبطة باستعمال الحاسبة البيانية.

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س٢ - س - ١٢

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ٢

[-١٠، ١٠] SCL: ٥

ص = س٢ +٨ س - ٩

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س٢ -١٤س + ٢٤

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س٢ +١٦س + ٢٨

جـ) تحليلياً: استعمل قيم الجدول الموجودة على حاسبتك لتحديد أصفار كل دالة مرتبطة، ثم اكتب الأصفار في الجدول أعلاه.

الدالة المرتبطة الأصفار
ص = س٢ - س - ١٢ -٣، ٤
ص = س٢ +٨ س - ٩ -٩، ١
ص = س٢ - ١٤س + ٢٤ ٢، ١٢
ص = س٢ +١٦ س + ٢٨ -١٤، -٢

د) لفظياً: وضح العلاقة بين عدد حلول المعادلة وأصفار الدالة المرتبطة بها؟

عدد أصفار الدالة يساوي درجتها ويساوي عدد حلول المعادلة.

مسائل مهارات التفكير العليا

٣٤) مسألة مفتوحة: اكتب دالة تربيعية معادلة محور التماثل تمثيلها البياني هي س = -right to left ٣ over ، ملخصاً خطوات عملك.

ص = ٤س٢ + ٣س + ٥

٣٥) اكتشف الخطأ: تحاول عبير ومنى إيجاد التماثل للقطع المكافئ، فأيهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسر إجابتك.

اكتشف الخطأ

عبير نسيت منى إشارة السالب مع - ٤.

٣٦) تحد: اكتب معادلة التمثيل البياني المجاور باستعمال محور التماثل وأحد المقطعين السينين.

تمثيل بياني

بما أن المنحنى لأسفل إذن أ قيمة سالبة.

الرأس = (٣، ٢٥)، س = ٣، ص = ١٦

ص = -٣س٢ + ٨س -٢س + ١٦

ص = -٣س٢ + ٦س + ١٦

٣٧) تبرير: إذا كان رأس قطع مكافئ هو النقطة (٢ ٠)، وإحدى نقاطه (٥ ٩)، فأوجد نقطة أخرى عليه، واشرح طريقة إيجادها.

(-١، ٩) أمثل النقاط المعطاة وارسم القطع المكافئ المار بها أجد انعكاس النقطة (٥، ٩) حول المستقيم س = ٢

٣٨) اكتب: وضح كيفية إيجاد محور التماثل لمعادلة الدالة التربيعية، ثم فسر الخصائص الأخرى للتمثيل البياني التي يمكنك اشتقاقها منه، وكيف توصلت إليها.

أجد قيم أ، ب من الصورة القياسية وأعوض ذلك في معادلة محور التماثل س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract وهذا يعطي الإحداثي السيني ولإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة أعوض في المعادلة الأصلية.

تدريب على اختبار

٣٩) هندسة: دائرة مساحتها ٣٦ط وحدة مربعة، إذا زاد نصف قطرها إلى مثليه، فكم تصبح مساحة الدائرة الجديدة؟

دائرة

أ) ٧٢ ط وحدة مربعة

ب) ١٤٤ ط وحدة مربعة

جـ) ١٢٩٦ ط وحدة مربعة

د) ٩ ط وحدة مربعة.

٣٦ط = ط نق٢

نق = ٦

نصف القطر الجديد = ٢ × ٦ = ١٢

مساحة الدائرة = ط (١٢)٢ = ١٤٤ ط

٤٠) ما مدى الدالة د(س) = -٤س٢ - right to left ١ over ؟

أ) جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي right to left ١ over

ب) جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة.

جـ) جميع الأعداد الحقيقة.

د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي - right to left bold ١ over bold

مشاركة الدرس

السؤال

في الأسئلة ٢٦ - ٢٨، أجب عما يأتي:

ص = -٢س ٢ -٨س + ١

حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

الحل

قيمة عظمى، لأن أ = - ٢ وهي قيمة سالبة إذن المنحنى مفتوح لأسفل.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الدوال التربيعية

تدرب وحل المسائل

استعمل جدول القيم لتمثيل كل دالة فيما يأتي بيانياً، وحدد مجالها ومداها.

١٧) ص = س٢ + ٤س + ٦

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than ٢}

تمثيل بياني

س ٠
ص ٦ ٣ ٢ ٣ ٦

١٨) ص = ٢س٢ + ٤س + ٧

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than ٥}

تمثيل بياني

س ٠ ١
ص ١٣ ٧ ٥ ٧ ١٣

١٩) ص = ٢س٢ - ٨س -٥

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقة.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than -١٣}

تمثيل بياني

س ٤ ٣ ٢ ١ ٠
ص -١١ -١٣ -١١

أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل، والمقطع الصادي لكل تمثيل بياني فيما يأتي:

٢٠) تمثيل القيم

الرأس = (-٣، -٦)، محور التماثل س = -٣، المقطع الصادي = ٤.

٢١) تمثيل القيم

الرأس = (٠، -٤)، محور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = -٤.

٢٢) تمثيل القيم

الرأس = (٠، ٠)، محور التماثل س = ٠، المقطع الصادي = ٠

تقنية: أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل والمقطع الصادي لكل دالة فيما يلي، ومثلها بيانياً باستخدام أحد التطبيقات الحاسوبية.

٢٣) ص = س٢ +٨س + ١٠

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract

س = right to left fraction numerator negative ٨ over denominator ٢ cross times space ١ end fract = -٤

معادلة محور التماثل هي س = -٤

وعند س = -٤

ص = ١٦ - ٣٢ + ١٠ = - ٦

إذن الرأس هي (-٤، - ٦)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١٠

٢٤) ص = ٢س٢ +١٢س + ١٠

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract

س = right to left fraction numerator negative ١٢ over denominator ٢ cross times space ٢ end frac = -٣

معادلة محور التماثل هي س = -٣

وعند س = -٣

ص = ١٨ - ٣٦ + ١٠ = - ٨

إذن الرأس هي (-٣، - ٨)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ١٠

٢٥) ص = -٣س٢ -٦س + ٧

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract

س = right to left fraction numerator ٦ over denominator ٢ cross times space minus ٣ end fract = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١

وعند س = -١

ص = -٣ + ٦ + ٧ = ١٠

إذن الرأس هي (-١، ١٠)

والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٧

في الأسئلة ٢٦ - ٢٨، أجب عما يأتي:

٢٦) ص = -٢س٢ -٨س + ١

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة عظمى، لأن أ = - ٢ وهي قيمة سالبة إذن المنحنى مفتوح لأسفل.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة العظمى هي ٩،

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis negative ٨ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space minus ٢ end fract = -٢

ص = - ٨ + ١٦ + ١ = ٩

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص right to left less or equal than ٩}

٢٧) ص = س٢ +٤س - ٥

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة صغرى، لأن أ = ١ وهي قيمة موجبة إذن المنحنى مفتوح لأعلى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة الصغرى هي -٩،

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis ٤ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space ١ end fract = -٢

ص = ٤ - ٨ - ٥ = -٩

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than -٩}

٢٨) ص = -٣س٢ -٦س + ٧

أ) حدد فيما إذا كان للدالة قيمة صغرى أو قيمة عظمى.

قيمة صغرى، لأن أ = ٣ وهي قيمة موجبة إذن المنحنى مفتوح لأعلى.

ب) أوجد القيمة العظمى أو القيمة الصغرى.

القيمة العظمى هي -٤٨،

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis ١٨ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space ٣ end frac = -٣

ص = ٢٧ - ٥٤ - ٢١ = -٤٨

جـ) حدد مجال الدالة ومداها؟

المجال = مجموعة الأعداد الحقيقية.

المدى = {ص | ص right to left greater or equal than -٤٨}

مثل كل دالة فيما يأتي بيانياً:

٢٩) ص = -٣س٢ +٦س - ٤

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative ٦ over denominator ٢ space cross times space minus ٣ end fract = ١

معادلة محور التماثل هي س = ١ وعند س = ١

ص = - ٣ + ٦ - ٤ = -١

إذن الرأس هي (١، -١)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٤

تمثيل بياني

٣٠) ص = -٢س٢ -٤س - ٣

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis negative ٤ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space minus ٢ end fract = -١

معادلة محور التماثل هي س = -١ وعند س = -١

ص = - ٢ + ٤ - ٣ = -١

إذن الرأس هي (-١، -١)

وبما أن أ قيمة سالبة فالتمثيل مفتوح لأسفل لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = -٣

تمثيل بياني

٣١) ص = ٣س٢ -١٢س + ٥

س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract= right to left fraction numerator negative left parenthesis negative ١٢ right parenthesis over denominator ٢ space cross times space ٣ end frac = ٢

معادلة محور التماثل هي س = ٢ وعند س = ٢

ص = ١٢ - ٢٤ + ٥ = -٧

إذن الرأس هي (٢، -٧)

وبما أن أ قيمة موجبة فالتمثيل مفتوح لأعلى لذا الرأس تمثل قيمة عظمى والمقطع الصادي هو قيمة جـ = ٥

٣٢) كرة قدم: قذف حارس المرمى الكرة من مستوى سطح الأرض إلى الأعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ٩٠ قدماً في الثانية، والدالة ع = -١٦ن + ٩٠ تمثل ارتفاع الكرة بعد (ن) ثانية.

أ) ما ارتفاع الكرة بعد ثانية واحدة؟

ع = -١٦ن + ٩٠ن

ع = - ١٦ × ١ + ٩٠(١) = ٧٤ قدماُ.

ب) متى تكون الكرة على ارتفاع ١٢٦ قدماً؟

١٢٦ = -١٦ن٢ + ٩٠ن

١٦ن٢ -٩٠ن + ١٢٦ = ٠

٨ن٢ - ٤٥ن + ٦٣ = ٠

ن = right to left fraction numerator negative ب space plus-or-minus square root of ب to the power of ٢ space minus space ٤ أ space جـ end root over denominator ٢ أ end

ن = right to left fraction numerator ٤٥ space plus-or-minus square root of ٤٥ to the power of ٢ space minus space ٤ cross times space ٨ space cross times space ٦٣ end root over denominator ٢ space cross times space ٨ e

ن = right to left fraction numerator ٤٥ space plus space ٩ over denominator ١٦ end fra ٣,٤ ≈ ٣ ثوان تقريباً.

ن = right to left fraction numerator ٤٥ space minus space ٩ over denominator ١٦ end fra = ٢,٦٣ ثانية تقريباً.

جـ) ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟

١٢٦,٦ قدم تقريباً.

٣٣) تمثيلات متعددة: سوف تكتشف في هذه المسألة حل المعادلات التربيعية باستعمال جداول القيم.

أ) جبرياً: حدد الدالة المرتبطة بكل معادلة فيما يأتي، ثم انسخ الجدول وأكمله.

المعادلة الدالة المرتبطة الأصفار
س٢ - س = ١٢ ص = س٢ - س - ١٢ -٣، ٤
س٢ +٨ س = ٩ ص = س٢ +٨ س - ٩ -٩، ١
س٢ = ١٤س - ٢٤ ص = س٢ - ١٤س + ٢٤ ٢، ١٢
س٢ +١٦ س = -٢٨ ص = س٢ +١٦ س + ٢٨ -١٤، -٢

ب) بيانياً: مثل كل دالة مرتبطة باستعمال الحاسبة البيانية.

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س٢ - س - ١٢

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ٢

[-١٠، ١٠] SCL: ٥

ص = س٢ +٨ س - ٩

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س٢ -١٤س + ٢٤

تمثيل بياني

[-١٠، ١٠] SCL: ١

[-١٠، ١٠] SCL: ١

ص = س٢ +١٦س + ٢٨

جـ) تحليلياً: استعمل قيم الجدول الموجودة على حاسبتك لتحديد أصفار كل دالة مرتبطة، ثم اكتب الأصفار في الجدول أعلاه.

الدالة المرتبطة الأصفار
ص = س٢ - س - ١٢ -٣، ٤
ص = س٢ +٨ س - ٩ -٩، ١
ص = س٢ - ١٤س + ٢٤ ٢، ١٢
ص = س٢ +١٦ س + ٢٨ -١٤، -٢

د) لفظياً: وضح العلاقة بين عدد حلول المعادلة وأصفار الدالة المرتبطة بها؟

عدد أصفار الدالة يساوي درجتها ويساوي عدد حلول المعادلة.

مسائل مهارات التفكير العليا

٣٤) مسألة مفتوحة: اكتب دالة تربيعية معادلة محور التماثل تمثيلها البياني هي س = -right to left ٣ over ، ملخصاً خطوات عملك.

ص = ٤س٢ + ٣س + ٥

٣٥) اكتشف الخطأ: تحاول عبير ومنى إيجاد التماثل للقطع المكافئ، فأيهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسر إجابتك.

اكتشف الخطأ

عبير نسيت منى إشارة السالب مع - ٤.

٣٦) تحد: اكتب معادلة التمثيل البياني المجاور باستعمال محور التماثل وأحد المقطعين السينين.

تمثيل بياني

بما أن المنحنى لأسفل إذن أ قيمة سالبة.

الرأس = (٣، ٢٥)، س = ٣، ص = ١٦

ص = -٣س٢ + ٨س -٢س + ١٦

ص = -٣س٢ + ٦س + ١٦

٣٧) تبرير: إذا كان رأس قطع مكافئ هو النقطة (٢ ٠)، وإحدى نقاطه (٥ ٩)، فأوجد نقطة أخرى عليه، واشرح طريقة إيجادها.

(-١، ٩) أمثل النقاط المعطاة وارسم القطع المكافئ المار بها أجد انعكاس النقطة (٥، ٩) حول المستقيم س = ٢

٣٨) اكتب: وضح كيفية إيجاد محور التماثل لمعادلة الدالة التربيعية، ثم فسر الخصائص الأخرى للتمثيل البياني التي يمكنك اشتقاقها منه، وكيف توصلت إليها.

أجد قيم أ، ب من الصورة القياسية وأعوض ذلك في معادلة محور التماثل س = right to left fraction numerator negative ب over denominator ٢ أ end fract وهذا يعطي الإحداثي السيني ولإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى للدالة أعوض في المعادلة الأصلية.

تدريب على اختبار

٣٩) هندسة: دائرة مساحتها ٣٦ط وحدة مربعة، إذا زاد نصف قطرها إلى مثليه، فكم تصبح مساحة الدائرة الجديدة؟

دائرة

أ) ٧٢ ط وحدة مربعة

ب) ١٤٤ ط وحدة مربعة

جـ) ١٢٩٦ ط وحدة مربعة

د) ٩ ط وحدة مربعة.

٣٦ط = ط نق٢

نق = ٦

نصف القطر الجديد = ٢ × ٦ = ١٢

مساحة الدائرة = ط (١٢)٢ = ١٤٤ ط

٤٠) ما مدى الدالة د(س) = -٤س٢ - right to left ١ over ؟

أ) جميع الأعداد الصحيحة التي تقل عن أو تساوي right to left ١ over

ب) جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة.

جـ) جميع الأعداد الحقيقة.

د) جميع الأعداد الحقيقية التي تقل عن أو تساوي -