حلول الأسئلة

السؤال

يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

الحل

مثلث

(١٦)^٢ = (١٢) ^٢ + (ع) ^٢

٢٥٦ = ١٢٤ + ع^٢

ع^٢ = ١١٢

ع = ١٠,٦ متر,

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد طول الضلع المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم الأمر:

٨)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢١٢ = ^٢٢ + ب^٢

١٤٤ = ٤ + ب^٢

ب^٢ = ١٤٤ - ٤

ب^٢ = ١٤٠

ب = $\sqrt{١٤٠}$

ب = ١١,٨٣

٩)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ^٢٢٠ + $\sqrt{{١١}^{٢}}$

جـ^٢ = ٤٠٠ + ١١

جـ = ٤١١

جـ = $\sqrt{٤١١}$

جـ = ٢٠,٢٧

١٠)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٢٦ = ^٢١٦ + ب^٢

٢٧٦ = ٢٥٦ + ب^٢

ب^٢ = ٤٢٠

ب = $\sqrt{٤٢٠}$

ب = ٢٠,٤٩

١١)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ( $\sqrt{٥}$ )^٢ + ( $\sqrt{٢٣}$ )^٢

جـ^٢ = ٥ + ٢٣

جـ^٢ = ٢٨

جـ = $\sqrt{٢٨}$

جـ = ٥,٢٩

١٢)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٢٥ = (٧)^٢ + أ^٢

^٢٦٢٥ = ^٢٤٩ + أ^٢

أ^٢ = ٥٧٦

أ = $\sqrt{٥٧٦}$

أ = ٢٤

١٣)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

( $\sqrt{٣٥}$ )^٢ = أ^٢ + ( $\sqrt{٣}$ )^٢

أ^٢ = ( $\sqrt{٣٥}$ )^٢ - ( $\sqrt{٣}$ )^٢

أ^٢ = ٣٢

أ = $\sqrt{٣٢}$

أ = ٥,٦٦

١٤) تلفاز: أراد مهند شراء طاولة مستطيلة يضع عليها تلفازاً، قطر قاعدته ٢٧ بوصة، فإذا كان بعدا الطاولة ٢٠ بوصة و٢٦ بوصة، فهل تناسب الطاولة التلفاز؟ فسر إجابتك.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ^٢٢٠ + ^٢٢٦

جـ = $\sqrt{١٠٧٦}$

جـ = ٣٢,٨

نعم، قطر الطاولة ٣٢,٨ بوصة لذا فهي مناسبة للتلفاز.

حدد إذا كانت كل مجموعة من الأطوال الآتية تشكل أضلاع مثلث قائم أم لا، ثم حدد إذا كانت تشكل ثلاثية فيثاغورس:

١٥) ٩، ٤٠، ٤١

بما أن جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٤١ = ^٢٩ + ^٢٤٠

١٦٨١ = ٨١ + ١٦٠٠

١٦٨١ = ١٦٨١

نعم.

١٦) ٣، ٢ $\sqrt{١٠}$ ، $\sqrt{٤١}$

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

(٣)^٢ = (٢ $\sqrt{١٠}$ )^٢ + ( $\sqrt{٤١}$ )^٢

٩ = ٤٠ + ٤١

٩ $\neq$ ٨١

لا.

١٧) $\sqrt{٥}$ ، ٧، ١٤

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

(١٤)^٢ = ( $\sqrt{٥}$ )^٢ + (٧)^٢

١٩٦ = ٥ + ٤٩

١٩٦ $\neq$ ٥٤

لا.

١٨) ٥,٨، ٥,٣١، ٣٢

بما أن جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(٣٢,٥)^٢ = (٣١،٥)^٢ + (٨)^٢

١٠٥٦,٢٥ = ١٠٥٦,٢٥

نعم، لا.

١٩) $\sqrt{٦٥}$ ، ٦ $\sqrt{٢}$ ، $\sqrt{٩٧}$

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

( $\sqrt{٩٧}$ )^٢ = ( $\sqrt{٦٥}$ )^٢ + ( ٦ $\sqrt{٢}$ )^٢

٩٧ = ٦٥ + ٧٢

٩٧ $\neq$ ١٣٧

لا، لا.

٢٠) ١٧، ٣٣، ٩٨

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

(٩٨)^٢ = (٣٣)^٢ + (١٧)^٢

٩٦٠٤ = ١٠٨٩ + ٢٨٩

٩٦٠٤ $\neq$ ١٣٧٨

لا، لا.

٢١) هندسة: أجب عن الأسئلة الآتية اعتماداً على المثلث المجاور:

مثلث

أ) ما قيمة س؟

(٢٣)^٢ = (١١)^٢ + (س)^٢

(٢٣)^٢ - (١١)^٢ = س^٢

٤٠٨ = س^٢

س = ٢٠,٢٠

ب) ما مساحة المثلث؟

مساحة المثلث = $\frac{١}{٢}$ طول القاعدة × الارتفاع:

= $\frac{١}{٢}$ × ٢,٢ × ١١ = ١١١,١١ وحدة مربعة.

أوجد طول الوتر في المثلثين الآتيين وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة:

٢٢)

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (١٠)^٢

(جـ)^٢ = ٤٩ + ١٠٠

(جـ)^٢ = ١٤٩

جـ = ١٢,٢١

٢٣)

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (٤)^٢

(جـ)^٢ = ٤٩ + ١٦

(جـ)^٢ = ٦٥

جـ = ٨,٠٦

٢٤) هندسة: أوجد طول قطر مكعب طول ضلعه ٥ سم.

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (٤)^٢

جـ = $\sqrt{٢٥ + ٢٥}$

جـ = $\sqrt{٥٠}$

جـ = ٢ $\sqrt{٥}$ سم,

٢٥) منزل: يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

مثلث

(١٦)^٢ = (١٢)^٢ + (ع)^٢

٢٥٦ = ١٢٤ + ع^٢

ع^٢ = ١١٢

ع = ١٠,٦ متر,

٢٦) شاحنات: صنع أحمد منحدراً خشبياً لسحب مجموعة صناديق على عربة ذات عجلات من مخزنة إلى الشاحنات كما في الشكل، فما طول المنحدر؟

شاحنة - مثال

(جـ)^٢ = (١,٢)^٢ + (٤)^٢

جـ = ٤,١٨ م تقريباً.

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم^٢

مساحة المربع = طول الضلع × نفسه.

٢٤٢ = ل^٢

ل = $\sqrt{٢٤٢}$

(جـ)^٢ = ( $\sqrt{٢٤٢}$ )^٢ + ( $\sqrt{٢٤٢}$ )^٢

(جـ)^٢ = ٢٤٢ + ٢٤٢

(جـ)^٢ = ٤٨٤

جـ = ٢٢ سم.

إذا كان جـ يمثل طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، فأوجد الطول المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إن كان ذلك ضرورياً:

٢٨) أ = س، بَ = س + ٤١، جـَ = ٨٥

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(٨٥)^٢ = (س + ٤١)^٢ + (س)^٢

٧٢٢٥ = س^٢ + ١٦٨١ + ٨٢س + س^٢

٢س^٢ + ٨٢س - ٥٥٤٤ = ٠

س^٢ + ٤١س - ٢٧٧٢ = ٠

س = ٣٦، س = -٧٧ C

أَ = ٣٦

ب = س + ٤١

ب = ٣٦ + ٤١

بَ = ٧٧

٢٩) أ = ١٢، بَ = س - ٢، جـَ = س

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س)^٢ = (س - ٢)^٢ + (١٢)^٢

س^٢ = س^٢ + ٤ - ٤س + ١٤٤

٠ = -٤س + ١٤٨

س = $\frac{١٤٨}{٤}$ = ٣٧

جـَ = ٣٧

ب = س - ٢

ب = ٣٧ - ٢

بَ = ٣٥

٣٠) أ = س - ٤٧، بَ = س، جـَ = س + ٢

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س + ٢)^٢ = (س)^٢ + (س - ٤٧)^٢

س^٢ + ٤ + ٤س = س^٢ + س^٢ + ٢٢٠٩ - ٩٤س

س^٢ + ٢٢٠٩ - ٩٤س -٤ + ٤ = ٠

س^٢ -٩٨س + ٢٢٠٥ = ٠

(س - ٦٣) (س - ٣٥) = ٠

س = ٦٣، بَ = ٦٣

أَ = ٦٣ - ٤٧ = ١٦

جـَ = ٦٥

٣١) أ = س- ٣٢، بَ = س -١، جـَ = س

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س)^٢ = (س - ١)^٢ + (س - ٣٢)^٢

س^٢ = س^٢ + ١ - ٢س + س^٢ + ١٠٢٤ - ٦٤س

١ -٢س + س^٢ + ١٠٢٤ - ٦٤س = ٠

س^٢ - ٨٢س + ١٠٢٥ = ٠

(س - ٤١) (س - ٢٥) = ٠

س = ٤١،

ب = ٤١ - ١

ب = ٤٠

أ = ٤١ -١

أََ = ٩

جـَ = ٤١

٣٢) هندسة: طول أحد ضلعي مثلث قائم الزاوية أقل بمقدار ٨ سم عن طول الضلع الآخر، وطول وتره ٣٠ سم، أوجد طول كل من ضلعيه.

نفرض أن الوتر جـ، طول أحد الأضلاع أ = س والضلع الثالث ب = س - ٨

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٣٠ = س^٢ + (س - ٨)^٢

^٢٣٠ = س^٢ + س^٢ + ٦٤ - ١٦س

٢س^٢ + ٦٤ - ٩٠٠ - ١٦س = ٠

٢س^٢ - ١٦س - ٨٣٦ = ٠

س^٢ - ٨س - ٤١٨ = ٠

س = $\frac{- ب \pm \sqrt{ب^{٢} - ٤ أ جـ}}{٢ أ}$

س = $\frac{- ب \pm \sqrt{٨^{٢} - ٤ \times ١ \times - ٤١٨}}{٢ أ}$

س = ٢٤,٨٣

س = أ = ٢٤,٨

ب = ٢٤,٨ - ٨

ب = ١٦,٨٣

٣٣) الكعبة المشرفة: باب الكعبة المشرفة مصنوع من الذهب الخالص على هيئة مستطيل أبعاده التقريبية ٣,٢م، ١,٧م، فكم طول قطره؟

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = (١,٧)^٢ + (٣,٢)^٢

جـ^٢ = ١٣,١٣

جـ = ٣,٦

الكعبة المشرفة: ٣,٦ تقريباً.

٣٤) تحد: أوجد قيمة س في الشكل المجاور؟

مثلث

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(١٤)^٢ = (٨)^٢ + (أ)^٢

أ^٢ = ١٣٢

أ = $\sqrt{١٣٢}$

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

( $\sqrt{١٣٢}$ )^٢ = (س)^٢ + (٢)^٢

١٣٢ = (س)^٢ + ٤

س^٢ = ١٣٢ - ٤

س^٢ = ١٢٨

س = ٨ $\sqrt{٢}$

٣٥) تبرير: أعط مثالاً مضاداً للعبارة الآتية: "تتساوى مساحتا مثلثين قائمي الزاوية إذا تساوى طولا وتريهما".

طول وتر المثلث القائم الذي طولا ضلعيه ٣سم، ٤سم، هو ٥سم ومساحته ٦سم^٢

وطول وتر المثلث القائم الذي طولا ضلعيه ٢سم، $\sqrt{٢١}$ سم هو ٥سم أيضاً ولكن مساحته $\sqrt{٢١}$ سم^٢ والتي تكافئ ٦ سم^٢

٣٦) اكتشف الخطأ: يحاول حسام وحازم تحديد إن كانت الأعداد "٣٦، ٧٧، ٨٥" تشكل ثلاثية فيثاغورس، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

اكتشف الخطأ

اكتشف الخطأ: حسام، يجب أن يساوي مربع العدد الأكبر مجموع مربعي العددين الآخرين حيث عندها تتحقق ثلاثية فيثاغورس.

٣٧) اكتب: وضح كيف تحدد إن كانت أطوال ثلاث قطع مستقيمة تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

بحسب معكوس نظرية فيثاغورس إذا كان جـَ^٢ = بَ^٢ + أَ^٢ فإن أ، ب، جـ تشكل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية لذا تحقق إن كان مربع العدد الأكبر يساوي مجموع مربعي العددين الآخرين.

٣٨) هندسة: أوجد الطول المجهول في الشكل أدناه.

مثلث

أ) -١٧

ب) - $\sqrt{١٦١}$

جـ) $\sqrt{١٦١}$

د) ١٧

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

ب^٢ = (١٥)^٢ - (٨)^٢

ب^٢ = ١٦١

ب = $\sqrt{١٦١}$

٣٩) ما حل المعادلة: س + ١ = $\sqrt{س + ١}$ ؟

أ) ٠,٣

ب) صفر

جـ) ٣

د) ليس لها حل.

س + ١ = $\sqrt{س + ١}$

س +٢س + ١ -س = ٠

س^٢ + س = ٠

س (س + ١) = ٠

س = ٠

س = -١

الاختيار الصحيح: ب) صفر

٤٠) إجابة قصيرة: يتقاضى سباك ٤٠ ريالاً عن الساعة الأولى إذا عمل خارج محله، بالإضافة إلى مبلغ ٨ ريالات عن كل $\frac{١}{٢}$ ساعة إضافية، فإذا عمل السباك ٤ساعات، فكم ريالاً يتقاضى؟

٤ ساعات = ٤٠ + (٦ × ٨) = ٤٠ + ٤٨ = ٨٨ ريالاً.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد طول الضلع المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم الأمر:

٨)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢١٢ = ^٢٢ + ب^٢

١٤٤ = ٤ + ب^٢

ب^٢ = ١٤٤ - ٤

ب^٢ = ١٤٠

ب = $\sqrt{١٤٠}$

ب = ١١,٨٣

٩)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ^٢٢٠ + $\sqrt{{١١}^{٢}}$

جـ^٢ = ٤٠٠ + ١١

جـ = ٤١١

جـ = $\sqrt{٤١١}$

جـ = ٢٠,٢٧

١٠)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٢٦ = ^٢١٦ + ب^٢

٢٧٦ = ٢٥٦ + ب^٢

ب^٢ = ٤٢٠

ب = $\sqrt{٤٢٠}$

ب = ٢٠,٤٩

١١)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ( $\sqrt{٥}$ )^٢ + ( $\sqrt{٢٣}$ )^٢

جـ^٢ = ٥ + ٢٣

جـ^٢ = ٢٨

جـ = $\sqrt{٢٨}$

جـ = ٥,٢٩

١٢)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٢٥ = (٧)^٢ + أ^٢

^٢٦٢٥ = ^٢٤٩ + أ^٢

أ^٢ = ٥٧٦

أ = $\sqrt{٥٧٦}$

أ = ٢٤

١٣)

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

( $\sqrt{٣٥}$ )^٢ = أ^٢ + ( $\sqrt{٣}$ )^٢

أ^٢ = ( $\sqrt{٣٥}$ )^٢ - ( $\sqrt{٣}$ )^٢

أ^٢ = ٣٢

أ = $\sqrt{٣٢}$

أ = ٥,٦٦

١٤) تلفاز: أراد مهند شراء طاولة مستطيلة يضع عليها تلفازاً، قطر قاعدته ٢٧ بوصة، فإذا كان بعدا الطاولة ٢٠ بوصة و٢٦ بوصة، فهل تناسب الطاولة التلفاز؟ فسر إجابتك.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = ^٢٢٠ + ^٢٢٦

جـ = $\sqrt{١٠٧٦}$

جـ = ٣٢,٨

نعم، قطر الطاولة ٣٢,٨ بوصة لذا فهي مناسبة للتلفاز.

حدد إذا كانت كل مجموعة من الأطوال الآتية تشكل أضلاع مثلث قائم أم لا، ثم حدد إذا كانت تشكل ثلاثية فيثاغورس:

١٥) ٩، ٤٠، ٤١

بما أن جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٤١ = ^٢٩ + ^٢٤٠

١٦٨١ = ٨١ + ١٦٠٠

١٦٨١ = ١٦٨١

نعم.

١٦) ٣، ٢ $\sqrt{١٠}$ ، $\sqrt{٤١}$

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

(٣)^٢ = (٢ $\sqrt{١٠}$ )^٢ + ( $\sqrt{٤١}$ )^٢

٩ = ٤٠ + ٤١

٩ $\neq$ ٨١

لا.

١٧) $\sqrt{٥}$ ، ٧، ١٤

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

(١٤)^٢ = ( $\sqrt{٥}$ )^٢ + (٧)^٢

١٩٦ = ٥ + ٤٩

١٩٦ $\neq$ ٥٤

لا.

١٨) ٥,٨، ٥,٣١، ٣٢

بما أن جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(٣٢,٥)^٢ = (٣١،٥)^٢ + (٨)^٢

١٠٥٦,٢٥ = ١٠٥٦,٢٥

نعم، لا.

١٩) $\sqrt{٦٥}$ ، ٦ $\sqrt{٢}$ ، $\sqrt{٩٧}$

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

( $\sqrt{٩٧}$ )^٢ = ( $\sqrt{٦٥}$ )^٢ + ( ٦ $\sqrt{٢}$ )^٢

٩٧ = ٦٥ + ٧٢

٩٧ $\neq$ ١٣٧

لا، لا.

٢٠) ١٧، ٣٣، ٩٨

بما أن جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢ فإن قياسات هذه الأضلاع لا تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

جـ^٢ $\neq$ ب^٢ + أ^٢

(٩٨)^٢ = (٣٣)^٢ + (١٧)^٢

٩٦٠٤ = ١٠٨٩ + ٢٨٩

٩٦٠٤ $\neq$ ١٣٧٨

لا، لا.

٢١) هندسة: أجب عن الأسئلة الآتية اعتماداً على المثلث المجاور:

مثلث

أ) ما قيمة س؟

(٢٣)^٢ = (١١)^٢ + (س)^٢

(٢٣)^٢ - (١١)^٢ = س^٢

٤٠٨ = س^٢

س = ٢٠,٢٠

ب) ما مساحة المثلث؟

مساحة المثلث = $\frac{١}{٢}$ طول القاعدة × الارتفاع:

= $\frac{١}{٢}$ × ٢,٢ × ١١ = ١١١,١١ وحدة مربعة.

أوجد طول الوتر في المثلثين الآتيين وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة:

٢٢)

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (١٠)^٢

(جـ)^٢ = ٤٩ + ١٠٠

(جـ)^٢ = ١٤٩

جـ = ١٢,٢١

٢٣)

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (٤)^٢

(جـ)^٢ = ٤٩ + ١٦

(جـ)^٢ = ٦٥

جـ = ٨,٠٦

٢٤) هندسة: أوجد طول قطر مكعب طول ضلعه ٥ سم.

(جـ)^٢ = (٧)^٢ + (٤)^٢

جـ = $\sqrt{٢٥ + ٢٥}$

جـ = $\sqrt{٥٠}$

جـ = ٢ $\sqrt{٥}$ سم,

٢٥) منزل: يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

مثلث

(١٦)^٢ = (١٢)^٢ + (ع)^٢

٢٥٦ = ١٢٤ + ع^٢

ع^٢ = ١١٢

ع = ١٠,٦ متر,

٢٦) شاحنات: صنع أحمد منحدراً خشبياً لسحب مجموعة صناديق على عربة ذات عجلات من مخزنة إلى الشاحنات كما في الشكل، فما طول المنحدر؟

شاحنة - مثال

(جـ)^٢ = (١,٢)^٢ + (٤)^٢

جـ = ٤,١٨ م تقريباً.

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم^٢

مساحة المربع = طول الضلع × نفسه.

٢٤٢ = ل^٢

ل = $\sqrt{٢٤٢}$

(جـ)^٢ = ( $\sqrt{٢٤٢}$ )^٢ + ( $\sqrt{٢٤٢}$ )^٢

(جـ)^٢ = ٢٤٢ + ٢٤٢

(جـ)^٢ = ٤٨٤

جـ = ٢٢ سم.

إذا كان جـ يمثل طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، فأوجد الطول المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إن كان ذلك ضرورياً:

٢٨) أ = س، بَ = س + ٤١، جـَ = ٨٥

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(٨٥)^٢ = (س + ٤١)^٢ + (س)^٢

٧٢٢٥ = س^٢ + ١٦٨١ + ٨٢س + س^٢

٢س^٢ + ٨٢س - ٥٥٤٤ = ٠

س^٢ + ٤١س - ٢٧٧٢ = ٠

س = ٣٦، س = -٧٧ C

أَ = ٣٦

ب = س + ٤١

ب = ٣٦ + ٤١

بَ = ٧٧

٢٩) أ = ١٢، بَ = س - ٢، جـَ = س

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س)^٢ = (س - ٢)^٢ + (١٢)^٢

س^٢ = س^٢ + ٤ - ٤س + ١٤٤

٠ = -٤س + ١٤٨

س = $\frac{١٤٨}{٤}$ = ٣٧

جـَ = ٣٧

ب = س - ٢

ب = ٣٧ - ٢

بَ = ٣٥

٣٠) أ = س - ٤٧، بَ = س، جـَ = س + ٢

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س + ٢)^٢ = (س)^٢ + (س - ٤٧)^٢

س^٢ + ٤ + ٤س = س^٢ + س^٢ + ٢٢٠٩ - ٩٤س

س^٢ + ٢٢٠٩ - ٩٤س -٤ + ٤ = ٠

س^٢ -٩٨س + ٢٢٠٥ = ٠

(س - ٦٣) (س - ٣٥) = ٠

س = ٦٣، بَ = ٦٣

أَ = ٦٣ - ٤٧ = ١٦

جـَ = ٦٥

٣١) أ = س- ٣٢، بَ = س -١، جـَ = س

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(س)^٢ = (س - ١)^٢ + (س - ٣٢)^٢

س^٢ = س^٢ + ١ - ٢س + س^٢ + ١٠٢٤ - ٦٤س

١ -٢س + س^٢ + ١٠٢٤ - ٦٤س = ٠

س^٢ - ٨٢س + ١٠٢٥ = ٠

(س - ٤١) (س - ٢٥) = ٠

س = ٤١،

ب = ٤١ - ١

ب = ٤٠

أ = ٤١ -١

أََ = ٩

جـَ = ٤١

٣٢) هندسة: طول أحد ضلعي مثلث قائم الزاوية أقل بمقدار ٨ سم عن طول الضلع الآخر، وطول وتره ٣٠ سم، أوجد طول كل من ضلعيه.

نفرض أن الوتر جـ، طول أحد الأضلاع أ = س والضلع الثالث ب = س - ٨

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

^٢٣٠ = س^٢ + (س - ٨)^٢

^٢٣٠ = س^٢ + س^٢ + ٦٤ - ١٦س

٢س^٢ + ٦٤ - ٩٠٠ - ١٦س = ٠

٢س^٢ - ١٦س - ٨٣٦ = ٠

س^٢ - ٨س - ٤١٨ = ٠

س = $\frac{- ب \pm \sqrt{ب^{٢} - ٤ أ جـ}}{٢ أ}$

س = $\frac{- ب \pm \sqrt{٨^{٢} - ٤ \times ١ \times - ٤١٨}}{٢ أ}$

س = ٢٤,٨٣

س = أ = ٢٤,٨

ب = ٢٤,٨ - ٨

ب = ١٦,٨٣

٣٣) الكعبة المشرفة: باب الكعبة المشرفة مصنوع من الذهب الخالص على هيئة مستطيل أبعاده التقريبية ٣,٢م، ١,٧م، فكم طول قطره؟

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

جـ^٢ = (١,٧)^٢ + (٣,٢)^٢

جـ^٢ = ١٣,١٣

جـ = ٣,٦

الكعبة المشرفة: ٣,٦ تقريباً.

٣٤) تحد: أوجد قيمة س في الشكل المجاور؟

مثلث

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

(١٤)^٢ = (٨)^٢ + (أ)^٢

أ^٢ = ١٣٢

أ = $\sqrt{١٣٢}$

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

( $\sqrt{١٣٢}$ )^٢ = (س)^٢ + (٢)^٢

١٣٢ = (س)^٢ + ٤

س^٢ = ١٣٢ - ٤

س^٢ = ١٢٨

س = ٨ $\sqrt{٢}$

٣٥) تبرير: أعط مثالاً مضاداً للعبارة الآتية: "تتساوى مساحتا مثلثين قائمي الزاوية إذا تساوى طولا وتريهما".

طول وتر المثلث القائم الذي طولا ضلعيه ٣سم، ٤سم، هو ٥سم ومساحته ٦سم^٢

وطول وتر المثلث القائم الذي طولا ضلعيه ٢سم، $\sqrt{٢١}$ سم هو ٥سم أيضاً ولكن مساحته $\sqrt{٢١}$ سم^٢ والتي تكافئ ٦ سم^٢

٣٦) اكتشف الخطأ: يحاول حسام وحازم تحديد إن كانت الأعداد "٣٦، ٧٧، ٨٥" تشكل ثلاثية فيثاغورس، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

اكتشف الخطأ

٣٧) اكتب: وضح كيف تحدد إن كانت أطوال ثلاث قطع مستقيمة تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

٣٨) هندسة: أوجد الطول المجهول في الشكل أدناه.

مثلث

أ) -١٧

ب) - $\sqrt{١٦١}$

جـ) $\sqrt{١٦١}$

د) ١٧

جـ^٢ = ب^٢ + أ^٢

ب^٢ = (١٥)^٢ - (٨)^٢

ب^٢ = ١٦١

ب = $\sqrt{١٦١}$

٣٩) ما حل المعادلة: س + ١ = $\sqrt{س + ١}$ ؟

أ) ٠,٣

ب) صفر

جـ) ٣

د) ليس لها حل.

س + ١ = $\sqrt{س + ١}$

س +٢س + ١ -س = ٠

س^٢ + س = ٠

س (س + ١) = ٠

س = ٠

س = -١

الاختيار الصحيح: ب) صفر

٤٠) إجابة قصيرة: يتقاضى سباك ٤٠ ريالاً عن الساعة الأولى إذا عمل خارج محله، بالإضافة إلى مبلغ ٨ ريالات عن كل $\frac{١}{٢}$ ساعة إضافية، فإذا عمل السباك ٤ساعات، فكم ريالاً يتقاضى؟

٤ ساعات = ٤٠ + (٦ × ٨) = ٤٠ + ٤٨ = ٨٨ ريالاً.

حلول الأسئلة

يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد طول الضلع المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم الأمر:

٨)

٩)

١٠)

١١)

١٢)

١٣)

١٤) تلفاز: أراد مهند شراء طاولة مستطيلة يضع عليها تلفازاً، قطر قاعدته ٢٧ بوصة، فإذا كان بعدا الطاولة ٢٠ بوصة و٢٦ بوصة، فهل تناسب الطاولة التلفاز؟ فسر إجابتك.

حدد إذا كانت كل مجموعة من الأطوال الآتية تشكل أضلاع مثلث قائم أم لا، ثم حدد إذا كانت تشكل ثلاثية فيثاغورس:

١٥) ٩، ٤٠، ٤١

١٦) ٣، ٢،

١٧) ، ٧، ١٤

١٨) ٥,٨، ٥,٣١، ٣٢

١٩) ، ٦،

٢٠) ١٧، ٣٣، ٩٨

٢١) هندسة: أجب عن الأسئلة الآتية اعتماداً على المثلث المجاور:

أ) ما قيمة س؟

ب) ما مساحة المثلث؟

أوجد طول الوتر في المثلثين الآتيين وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة:

٢٢)

٢٣)

٢٤) هندسة: أوجد طول قطر مكعب طول ضلعه ٥ سم.

٢٥) منزل: يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

٢٦) شاحنات: صنع أحمد منحدراً خشبياً لسحب مجموعة صناديق على عربة ذات عجلات من مخزنة إلى الشاحنات كما في الشكل، فما طول المنحدر؟

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم٢

إذا كان جـ يمثل طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، فأوجد الطول المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إن كان ذلك ضرورياً:

٢٨) أ = س، بَ = س + ٤١، جـَ = ٨٥

٢٩) أ = ١٢، بَ = س - ٢، جـَ = س

٣٠) أ = س - ٤٧، بَ = س، جـَ = س + ٢

٣١) أ = س- ٣٢، بَ = س -١، جـَ = س

٣٢) هندسة: طول أحد ضلعي مثلث قائم الزاوية أقل بمقدار ٨ سم عن طول الضلع الآخر، وطول وتره ٣٠ سم، أوجد طول كل من ضلعيه.

٣٣) الكعبة المشرفة: باب الكعبة المشرفة مصنوع من الذهب الخالص على هيئة مستطيل أبعاده التقريبية ٣,٢م، ١,٧م، فكم طول قطره؟

٣٤) تحد: أوجد قيمة س في الشكل المجاور؟

٣٥) تبرير: أعط مثالاً مضاداً للعبارة الآتية: "تتساوى مساحتا مثلثين قائمي الزاوية إذا تساوى طولا وتريهما".

٣٦) اكتشف الخطأ: يحاول حسام وحازم تحديد إن كانت الأعداد "٣٦، ٧٧، ٨٥" تشكل ثلاثية فيثاغورس، فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك.

٣٧) اكتب: وضح كيف تحدد إن كانت أطوال ثلاث قطع مستقيمة تشكل مثلثاً قائم الزاوية.

٣٨) هندسة: أوجد الطول المجهول في الشكل أدناه.

٣٩) ما حل المعادلة: س + ١ = ؟

٤٠) إجابة قصيرة: يتقاضى سباك ٤٠ ريالاً عن الساعة الأولى إذا عمل خارج محله، بالإضافة إلى مبلغ ٨ ريالات عن كل ساعة إضافية، فإذا عمل السباك ٤ساعات، فكم ريالاً يتقاضى؟

مشاركة الدرس

يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد طول الضلع المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم الأمر:

٨)

٩)

١٠)

١١)

١٢)

١٣)

١٤) تلفاز: أراد مهند شراء طاولة مستطيلة يضع عليها تلفازاً، قطر قاعدته ٢٧ بوصة، فإذا كان بعدا الطاولة ٢٠ بوصة و٢٦ بوصة، فهل تناسب الطاولة التلفاز؟ فسر إجابتك.

حدد إذا كانت كل مجموعة من الأطوال الآتية تشكل أضلاع مثلث قائم أم لا، ثم حدد إذا كانت تشكل ثلاثية فيثاغورس:

١٥) ٩، ٤٠، ٤١

١٦) ٣، ٢،

١٧) ، ٧، ١٤

١٨) ٥,٨، ٥,٣١، ٣٢

١٩) ، ٦،

٢٠) ١٧، ٣٣، ٩٨

٢١) هندسة: أجب عن الأسئلة الآتية اعتماداً على المثلث المجاور:

أ) ما قيمة س؟

ب) ما مساحة المثلث؟

أوجد طول الوتر في المثلثين الآتيين وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة:

٢٢)

٢٣)

٢٤) هندسة: أوجد طول قطر مكعب طول ضلعه ٥ سم.

٢٥) منزل: يمثل الشكل المجاور العلوية لمنزل عرضها ٢٤ متراً، وطولا الضلعين المائلين لها ١٦ متراً، أوجد ارتفاع الواجهة مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة من المتر.

٢٦) شاحنات: صنع أحمد منحدراً خشبياً لسحب مجموعة صناديق على عربة ذات عجلات من مخزنة إلى الشاحنات كما في الشكل، فما طول المنحدر؟

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم٢

إذا كان جـ يمثل طول الوتر في المثلث القائم الزاوية، فأوجد الطول المجهول في كل مثلث مما يأتي، وقرب الحل إلى أقرب جزء من مئة إن كان ذلك ضرورياً:

٢٨) أ = س، بَ = س + ٤١، جـَ = ٨٥

٢٩) أ = ١٢، بَ = س - ٢، جـَ = س

٣٠) أ = س - ٤٧، بَ = س، جـَ = س + ٢

٣١) أ = س- ٣٢، بَ = س -١، جـَ = س

٣٢) هندسة: طول أحد ضلعي مثلث قائم الزاوية أقل بمقدار ٨ سم عن طول الضلع الآخر، وطول وتره ٣٠ سم، أوجد طول كل من ضلعيه.

٣٣) الكعبة المشرفة: باب الكعبة المشرفة مصنوع من الذهب الخالص على هيئة مستطيل أبعاده التقريبية ٣,٢م، ١,٧م، فكم طول قطره؟

٣٤) تحد: أوجد قيمة س في الشكل المجاور؟

٣٥) تبرير: أعط مثالاً مضاداً للعبارة الآتية: "تتساوى مساحتا مثلثين قائمي الزاوية إذا تساوى طولا وتريهما".

١٦) ٣، ٢ $\sqrt{١٠}$ ، $\sqrt{٤١}$

١٧) $\sqrt{٥}$ ، ٧، ١٤

١٩) $\sqrt{٦٥}$ ، ٦ $\sqrt{٢}$ ، $\sqrt{٩٧}$

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم^٢

٣٩) ما حل المعادلة: س + ١ = $\sqrt{س + ١}$ ؟

١٦) ٣، ٢ $\sqrt{١٠}$ ، $\sqrt{٤١}$

١٧) $\sqrt{٥}$ ، ٧، ١٤

١٩) $\sqrt{٦٥}$ ، ٦ $\sqrt{٢}$ ، $\sqrt{٩٧}$

٢٧) هندسة: أوجد طول قطر مربع مساحته ٢٤٢ سم^٢

٣٩) ما حل المعادلة: س + ١ = $\sqrt{س + ١}$ ؟