إذا كان: ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

u · (v + w) = u · v + u · w

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

32) تبرير: اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت | d|, |e|, |f | تمثّل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين d, e وبين e, f حادثين، فإن الزاوية بين d, f يجب أن تكون قائمة. فسّر تبريرك.

العبارة خاطئة؛ إذ قد تكون نقطة بداية للمتجهات الثلاثة واحدة ولا تشكل هذه المتجهات مثلثاً مطلقاً، إذا كان الأمر كذلك، فإن الزاوية بين المتجهين d و f تكون حادة أو قائمة أو منفرجة.

33) اكتشف الخطأ: يدرس كلٌّ من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات، فقال فهد: إن الضرب الداخلي للمتجهات
عملية تجميعية؛ لأنها إبدالية؛ أي أن: u·v)·w=u·(v·w) )، ولكن فيصل عارضه، فأيهما كان على صواب؟ وضّح إجابتك.

فيصل؛ u · v عدد ثابت، وعليه فإن (u · v) · w ليس معرفاً؛ لأنه لا يمكن إجراء الضرب الداخلي بين مقدار ثابت ومتجه.

34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين.

إجابة ممكنة: لأي متجهين غير صفريين يكون الضرب الداخلي لهما يساوي مجموع حاصل ضرب الاحداثيين x والإحداثيين y أو ac + bd.

برهان: إذا كان: ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية:

35) u · v = v · u

36) u · (v + w) = u · v + u · w

37) k(u · v) = ku · v = u · k v

38) برهان: إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين u, v يساوي °90، فأثبت أن u · v = 0 باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير
صفريين.

الزاوية بين uو v هي θ = 90

بضرب الطرفين في

u.v=0