حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

١٨ -(- ف) = ٩١

١٨ -(- ف) = ٩١ المعادلة الأصلية.

١٨ + ف = ٩١ خاصية التوزيع.

١٨ - ١٨ + ف = ٩١ - ٨١ أطرح ١٨ إلى كلا الطرفين.

ف = ٧٣

للتحقق:

١٨- (-٧٣) = ٩١ عوض بـ ٧٣ بدلاً من ف في المعادلة الأصلية.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

١١) ف -٩ = ١٤

ف - ٩ = ١٤ المعادلة الأصلية.

ف - ٩ + ٩ = ١٤ + ٩ أضف ٩ إلى كلا الطرفين.

ف = ٢٣

للتحقق:

٢٣ - ٩ = ١٤ عوض بـ ٢٣ بدلاً من ف في المعادلة الأصلية.

١٢) ٤٤ = ت - ٧٢

٤٤ = ت - ٧٢ المعادلة الأصلية.

٤٤ + ٧٢ = ت - ٧٢ + ٧٢ أضف ٧٢ إلى كلا الطرفين.

ف = ٢٣

للتحقق:

٤٤ = ١١٦ - ٧٢ عوض بـ ١١٦ بدلاً من ت في المعادلة الأصلية.

١٣) ١٨ + ع = ٤٠

١٨ + ع = ٤٠ المعادلة الأصلية.

١٨ - ١٨ + ع = ٤٠ - ١٨ أطرح ١٨ إلى كلا الطرفين.

ف = ٢٣

للتحقق:

١٨ + ٢٢ = ٤٠ عوض بـ ٢٢ بدلاً من ع في المعادلة الأصلية.

١٤) -٤أ = ٤٨

-٤أ = ٤٨ المعادلة الأصلية.

- (-٤أ) = - (٤٨) أضرب كلا الطرفين -

أ = - ١٢

للتحقق:

-٤ × - ١٢ = ٤٨ عوض بـ -١٢ بدلاً من أ في المعادلة الأصلية.

١٥) ١٨ -(- ف) = ٩١

١٨ -(- ف) = ٩١ المعادلة الأصلية.

١٨ + ف = ٩١ خاصية التوزيع.

١٨ - ١٨ + ف = ٩١ - ٨١ أطرح ١٨ إلى كلا الطرفين.

ف = ٧٣

للتحقق:

١٨- (-٧٣) = ٩١ عوض بـ ٧٣ بدلاً من ف في المعادلة الأصلية.

١٦) -١٦ -(- ت) = -٤٥

-١٦ -(- ت) = -٤٥ المعادلة الأصلية

-١٦ + ت = -٤٥ خاصية التوزيع

-١٦ + ١٦ + ت = -٤٥ + ١٦ أضف ١٦ إلى كلا الطرفين

ت = -٢٩

للتحقق:

-١٦ - (٢٩) = -٤٥ عوض بـ ٢٩ بدلاً من ت في المعادلة الأصلية.

١٧) ف = -٥

ف = -٥ المعادلة الأصلية.

٣ × ف = -٥ × ٣ أضرب كلا الطرفين ٣

ف = - ١٥

للتحقق:

× - ١٥ = -٥ عوض بـ -١٥ بدلاً من ف في المعادلة الأصلية.

١٨) - + أ =

- + أ = المعادلة الأصلية

- + + أ = + أضف إلى كلا الطرفين.

أ =

للتحقق:

- + أ = عوض بـ - بدلاً من أ في المعادلة الأصلية.

١٩) -

- المعادلة الأصلية.

أضف -٧ إلى كلا الطرفين.

ت = -

للتحقق:

- عوض بـ - بدلاً من ت في المعادلة الأصلية.

٢٠) - = ص - ٢

- = ص - ٢ المعادلة الأصلية.

- + ٢ = ص - ٢ + ٢أضف ٢ إلى كلا الطرفين.

ص =

للتحقق:

- = - ٢عوض بـ - بدلاً من ص في المعادلة الأصلية.

٢١) -ب = -٢٢

-ب = -٢٢ المعادلة الأصلية.

- -ب = - (-٢٢) أضرب كلا الطرفين -

ب = ٣٣

للتحقق:

- × ٣٣ = -٢٢ عوض بـ - بدلاً من ب في المعادلة الأصلية.

٢٢) + ر = -

+ ر = - المعادلة الأصلية.

- + ر = - - أطرح من كلا الطرفين.

ر = -

للتحقق:

= - عوض بـ - بدلاً من ر في المعادلة الأصلية.

٢٣) فطائر: قسمت فطيرة دائرية إلى ٦ قطع متساوية، إذا كانت كتلة القطعة الواحدة ١٨ جراماً، فاكتب معادلة لإيجاد كتلة الفطيرة كاملة، وحلها.

افرض س = كتلة الفطيرة كاملة.

س = ٦ × ١٨

س = ١٠٨

إذاً كتلة الفطيرة كاملة = ١٠٨ جرام.

٢٤) سيارات: معدل الوقت الذي يحتاج إليه صنع سيارة واحدة في الولايات المتحدة الأمريكية ٢٤,٩ ساعة، ويزيد هذا الوقت بـ ٨,١ ساعات على وقت صنع سيارة مشابهة في اليابان، اكتب معادلة لإيجاد معدل الوقت لصنع سيارة واحدة في اليابان، وحلها.

ن + ٨,١ = ٢٤,٩

ن + ٨,١ - ٨,١ = ٢٤,٩ - ٨,١

ن = ١٦,٨ ساعة.

حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:

٢٥) = - ١١

= - ١١ المعادلة الأصلية.

٧ () = ٧ (- ١١) أطرح من كلا الطرفين.

ب = - ٧٧

للتحقق:

= - ١١ عوض بـ -٧٧ بدلاً من ب في المعادلة الأصلية.

٢٦) ص

ص المعادلة الأصلية

ص أضرب كلا الطرفين في ٨

ص =

للتحقق:

× عوض بـ - بدلاً من ص في المعادلة الأصلية.

٢٧) ن = ١٤

ن = ١٤ المعادلة الأصلية.

() ن = (١٤) أضرب كلا الطرفين في

ن = ٢١

للتحقق:

× ٢١ = ١٤ عوض بـ -٢١ بدلاً من ن في المعادلة الأصلية.

٢٨) -٥ = س

-٥ = س المعادلة الأصلية.

(-٥) = ()س أضرب كلا الطرفين في

س = -

للتحقق:

-٥ = عوض بـ - بدلاً من ن في المعادلة الأصلية.

٢٩) ٦ = - ن

٦ = - ن المعادلة الأصلية.

-٢ (٦) = - ٢ () ن أضرب كلا الطرفين في - ٢

ن = - ١٢

للتحقق:

٦ = - × - ١٢ عوض بـ - ١٢ بدلاً من ن في المعادلة الأصلية.

٣٠) -

- المعادلة الأصلية.

أضرب كلا الطرفين في - ٤٥

ع = ١٨

للتحقق:

- عوض بـ ١٨ بدلاً من ن في المعادلة الأصلية.

اكتب معادلة تمثل كل جملة فيما يأتي، ثم حلها:

٣١) ستة أمثال عدد تساوي ١٣٢

٦س + ١٣٢

(٦س) = (١٣٢)

س = ٢٢

٣٢) ثلثان يساوي سالب ثمانية أمثال عدد.

= -٨س

س =

٣٣) خمسة أجزاء من أحد عشر جزءاً من عدد تساوي ٥٥

(٥٥)

س = ١٢١

٣٤) أربعة أمثال تساوي عشرة من ستة عشر جزءاً من عدد.

س =

٣٥) تسوق: يقارن عثمان بين نوعين من الشوكولاتة يباعان في أحد المتاجر، ويرغب في الحصول على أفضل سعر للقطعة الواحدة.

أ) اكتب معادلة لإيجاد سعر القطعة الواحدة من النوع (أ).

١٢ع = ١٨

(١٢ع) = (١٨)

ع = ١,٥ ريال.

ب) اكتب معادلة لإيجاد سعر الواحدة من النوع (ب).

١٥ف = ٢١,٧٥

(١٥ف) = (٢١,٧٥)

جـ) ما النوع الذي سعر القطعة منه أرخص؟ فسر إجابتك.

النوع ب أرخص لأن ثمن القطعة الواحدة منه ١,٤٥ ريال، بينما ثمن القطعة الواحدة من النوع أ هو ١,٥ ريال.

للسؤالين ٣٦ - ٣٧ اكتب معادلة ثم حلها:

٣٦) طيران: اشترت إحدى شركات الطيران طائرة إيرباص (A380)، وأعلنت أن هذه الطائرة تقل نحو ٥٥٥ مسافراً؛ أي بزيادة مقدارها ١٣٩ مسافراً على عدد المسافرين الذين يمكن ان تقلهم طائرة البوينج (747)، فما عدد المسافرين الذين يمكن أن تقلهم طائرة البوينج (747)؟

١٣٩ + س = ٥٥٥ افرض س = عدد المسافرين الذين يمكن أن تقلهم طائرة البوينج.

١٣٩ - ١٣٩ +س = ٥٥٥ - ١٣٩ اطرح ١٣٩ من كلا الطرفين.

س = ٤١٦

إذاً عدد المسافرين الذين يمكن أن تقلهم طائرة البوينج = ٤١٦ مسافر.

٣٧) وقود: صنفت نحو ٥ ملايين سيارة وشاحنة في عام ٢٠٠٤ م بأنها ثنائية الوقود؛ أي أنها يمكن أن تستعمل البنزين أو الإيثانول. وقد ارتفع هذا العدد إلى ٧,٥ ملايين في عام ٢٠٠٦م، فكم زاد عدد السيارات والشاحنات الثنائية الوقود في عام ٢٠٠٦ م على ما كان عليه عام ٢٠٠٤م؟

٥ + س = ٧,٥

٥ - ٥ + س = ٧,٥ - ٥ اطرح ٥ من كلا الطرفين.

س = ٢,٥ مليون.

إذاً زاد عدد السيارات والشاحنات الثنائية الوقود في عام ٢٠٠٦ على ما كان عليه عام ٢٠٠٤ بمقدار ٢,٥ مليون سيارة.

٣٨) مهن تعليمية: كان عدد معلمي الحاسوب مضروباً في ٢٥ يساوي عدد جميع المعلمين، فاكتب معادلة معلمي العلوم في المرحلة الثانوية؟

أ) إذا كان عدد معلمي الحاسوب مضروباً في ٢٥ يساوي عدد جميع المعلمين، فاكتب معادلة لإيجاد عدد معلمي الحاسوب، ثم حلها.

٢٥س = ١٧٥٠٠٠

(٢٥س) = (١٧٥٠٠٠)

س = ٧٠٠٠

إذاً عدد معلمي الحاسوب = ٧٠٠٠ معلم.

ب) إذا علمت أن عدد معلمي العلوم يزيد بـ ١٠٠٠٠ على عدد معلمي الحاسوب، فما عدد معلمي العلوم في المرحلة الثانوية؟

عدد معلمي العلوم = ٧٠٠٠ + ١٠٠٠٠ = ١٧٠٠٠ معلم.

٣٩) احتفالات: خصصت إدارة مدرسة متوسطة مبلغ ٢٥٠٠ ريال لإقامة حفل المدرسة السنوي، وأنفقت منه ٧٥٠ ريالاً لشراء الحلوى والعصير للحضور.

أ) اكتب معادلة تمثل المبلغ المتبقي، ثم حلها.

٧٥ + س = ٢٥٠٠

٧٥٠ - ٧٥٠ + س = ٢٥٠٠ - ٧٥٠

س = ١٧٥٠

المبلغ المتبقي = ١٧٥٠ ريال.

ب) إذا أنفقت الإدارة أيضاً مبلغ ١٤٧٥ ريالاً لشراء هدايا وجوائز للطلاب المتفوقين، فاكتب معادلة تمثل ما تبقى من المبلغ المرصود للحفل.

١٤٧٥ + س = ١٧٥٠

١٤٧٥ - ١٤٧٥ + س = ١٧٥٠ - ١٤٧٥

س = ٢٧٥ ريال.

ما تبقى من المبلغ المرصود للحفل ٢٧٥ ريال.

جـ) إذا أنفق المبلغ لشراء ٥ كتب لمكتبة المدرسة لكل منها القيمة نفسها، فما ثمن الكتاب الواحد؟

٥س = ٢٧٥

(٥س) = (٢٧٥)

س = ٢٧٥

س = ٥٥ ريال.

ثمن الكتاب الواحد ٥٥ ريال.

٤٠) حدد المعادلة التي تختلف عن المعادلات الثلاث الأخرى، وفسر تبريرك.

المعادلة المختلفة هي ن - ١٦ = ٢٩

لأن حلها هو ن = ٤٥ أما باقي المعادلات فحلها ن = ١٣

٤١) مسألة مفتوحة: اكتب معادلة تتضمن عملية الجمع، ووضح طريقتين لحلها.

س - ١٢ = ٢٣

الطريقة الأفقية: س - ١٢ = ٢٣ المعادلة الأصلية.

س - ١٢ + ١٢ = ٢٣ + ١٢ أضف ١٢ إلى كلا الطرفين.

س = ٣٥

الطريقة الرأسية:

٤٢) تحد: بين ما إذا كانت كل من الجملتين الآتيتين صحيحة دائماً أم صحيحة أحياناً أم غير صحيحة إطلاقاً:

أ) س + س = س

تكون صحيحة أحياناً: لأنها تكون صحيحة في حالة س = ٠

وتكون خطأ بالتعويض بباقي الأعداد الحقيقية.

ب) س + ٠ = س

صحيحة دائماً: حسب خاصية العنصر المحايد الجمعي.

٤٣) تبرير: حدد القيمة المطلوبة في كل مما يأتي:

أ) إذا كانت س - ٧ = ١٤، فما قيمة س - ٢؟

س - ٧ = ١٤

س - ٧ + ٧ = ١٤ + ٧

س = ٢١

س -٢ = ٢١ - ٢

س -٢ = ١٩

ب) إذا كانت ن + ٨ = - ١٢، فما قيمة ن + ١؟

ن + ٨ = - ١٢

ن + ٨ -٨ = - ١٢ -٨

ن = - ٢٠

ن + ١ = - ٢٠ + ١

ن + ١ = - ١٩

٤٤) تحد: وضح لماذا يكون للمعادلتين: ن = ١٦، ٤٨ = ٢جـ الحل نفسه.

لهما نفس الحل لأن إذا ضربنا طرفي المعادلة الأولي في ٣ يكون الناتج المعادلة الثانية ويصبح لهما نفس الحل على الرغم من اختلاف المتغيرات.

٤٥) اكتب: تأمل خاصيتي الضرب والقسمة في المساواة، ثم اشرح لماذا يمكن اعتبارهما خاصية واحدة، وأيهما أسهل للاستعمال، في رأيك؟

بعد تأمل الخاصيتين نجد أن القسمة على عدد غير الصفر هو نفسه الضرب في مقلوب العدد لذا نطبق القواعد، ولكن الضرب أسهل.

٤٦) أي المسائل اللفظية الآتية تمثلها المعادلة: هـ - ١٥ = ٣٣؟

أ) أضاف جاسم (هـ) كوباً من الماء إلى إناء به ٣٣ كوباً من الماء. فكم كوباً أضاف؟

ب) أضاف جاسم ١٥ كوباً من الماء إلى إناء ليحصل على ٣٣ كوباً. فكم كوباً من الماء (هـ) كان في الإناء أصلاً؟

جـ) أفرغ جاسم ١٥ كوباً من إناء وبقي فيه ٣٣ كوباً. فكم كوباً (هـ) كان في الإناء أصلاً؟

د) أفرغ جاسم ١٥ كوباً من الماء من إناء كان فيه ٣٣ كوباً من الماء. فكم كوباً من الماء (هـ) بقي في الإناء؟

٤٧) هندسة: كمية الماء اللازمة لملء بركة تمثل:

أ) حجمها.

ب) عمقها.

جـ) مساحة سطحها.

د) محيطها.