حلول الأسئلة

السؤال

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

الحل

$A (3, \frac{π}{6})$

التمثيل القطبي

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الإحداثيات القطبية

تدرب وحل المسائل

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

1) R(1 , 120°)

التمثيل القطبي

2) T(-2.5 , 330°)

التمثيل القطبي

3) $F (- 2, \frac{2 π}{3})$

التمثيل القطبي

4) $A (3, \frac{π}{6})$

التمثيل القطبي

5) B(5 , -60°)

التمثيل القطبي

6) $D (- 1, - \frac{5 π}{3})$

التمثيل القطبي

7) $G (3.5, - \frac{11 π}{6})$

التمثيل القطبي

8) C(-4 , $π$ )

التمثيل القطبي

9) M(0.5 , 270°)

التمثيل القطبي

10) W(-1.5 , 150°)

التمثيل القطبي

11) رماية: يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز، ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب، افترض أن رامياً يستعمل هدفاً نصف قطره 120 cm، وأنه قد أطلق ثلاثة أسهم، فأصابت الهدف عند النقاط (° 240 , 30), (° 315 , 82), (° 45 , 114)، إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه، ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية.

رماية

a) فمثّل النقاط التي أصابها الرَّامي في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

b) ما مجموع النقاط التي حصل عليها الرَّامي؟

13 نقطة.

إذا كانت $- 360^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$ فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كلّ مما يأتي:

(1 , 150°) (12

(-1, 330°), (1,-210°), (-1,-30°)

(-2 , 300°) (13

(2, 120°), (2, -240°), (-2, -60°)

$(4, - \frac{7 π}{6})$ (14

$(4, \frac{5 π}{6}), (- 4, \frac{11 π}{6}), (- 4, \frac{- π}{6})$

$(- 3, \frac{2 π}{3})$ (15

$(3, \frac{5 π}{3}), (3, \frac{- π}{3}), (- 3, \frac{- 4 π}{3})$

$(5, \frac{11 π}{6})$ (16

$(5, \frac{- π}{6}), (- 5, \frac{5 π}{6}), (- 5, \frac{- 7 π}{6})$

$(- 5, - \frac{4 π}{3})$ (17

$(5, \frac{5 π}{3}), (5, \frac{- π}{3}), (- 5, \frac{2 π}{3})$

(2 , -30°) (18

(2, 330°), (-2, 150°), (-2, -210°)

(-1 , -240°) (19

(1, 300°), (1, -60°), (-1, 120°)

مثّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانياً:

20) r = 1.5

التمثيل القطبي

21) $θ$ = 225°

التمثيل القطبي

22) $θ = - \frac{7 π}{6}$

التمثيل القطبي

23) r = -3.5

التمثيل القطبي

24) القفز بالمظلات: في مسابقة لتحديد دقة موقع الهبوط، يحاول مظلي الوصول إلى مركز الهدف المحدد ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها 2 m، كما يشمل الهدف دائرتين طولا نصفي قطريهما 10m ،20m.

الهدف المحدد للقفز المظلي

a) اكتب 3 معادلات قطبية تمثّل حدود المناطق الثلاث للهدف.

r = 1, r = 10, r = 20

b) مثّل هذه المعادلات في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي.

(2 , 30°) , (5 , 120°) (25

5.39

$(3, \frac{π}{2}), (8, \frac{4 π}{3})$ (26

10.70

(6 , 45°) , (-3 , 300°) (27

5.97

$(7, - \frac{π}{3}), (1, \frac{2 π}{3})$ (28

$(- 5, \frac{7 π}{6}), (4, \frac{π}{6})$ (29

(4 , -315°) , (1 , 60°) (30

3.05

(-2 , -30°) , (8 , 210°) (31

7.21

$(- 3, \frac{11 π}{6}), (- 2, \frac{5 π}{6})$ (32

$(1, - \frac{π}{4}), (- 5, \frac{7 π}{6})$ (33

4.84

(7 , - 90°) , (- 4 ,- 330°) (34

6.08

$(8, - \frac{2 π}{3}), (4, - \frac{3 π}{4})$ (35

4.26

(- 5 , 135°) , (-1 , 240°) (36

5.35

37) مساحون: أراد مسَّاح تحديد حدود قطعة أرض، فحدد أثراً يبعد 223 ft، بزاوية °45 إلى يسار المركز، وأثراً آخر على بعد 418 ft، بزاوية °67 إلى يمين المركز، كما في الشكل أدناه، أوجد المسافة بين الأثرين.

حدود قطعة أرض

542.5 ft

38) مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثّل جزءاً من دائرة، وتحدَّد بالمتباينتين $- 60^{\circ} \leq θ \leq 150^{\circ}, 0 \leq r \leq 40$ حيث r بالأمتار.

a) مثّل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن لآلة التصوير مراقبتها.

التمثيل القطبي

b) أوجد مساحة المنطقة (مساحة القطاع الدائري تساوي: $الدائرة مساحة \times \frac{بالدرجات القطاع زاوية قياس}{360 °}$ ).

حوالي 2932.2m²

إذا كانت $0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ فأوجد زوجاً آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي:

(5 , 960°) (39

(-5, 60°)

$(- 2.5, \frac{15 π}{6})$ (40

$(- 2 .5, \frac{π}{2})$

$(4, \frac{33 π}{12})$ (41

$(4, \frac{3 π}{4})$

(1.25 ,-920°) (42

(1.25, 160°)

$(- 1, - \frac{21 π}{8})$ (43

$(1, \frac{3 π}{8})$

(-6 , -1460°) (44

(6, 160°)

45) مسرح: يلقي شاعر قصيدة في مسرح، ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي، بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور
القطبي، افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين $- \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4}, 30 \leq r \leq 240$ حيث r بالأقدام.

a) مثّل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

b) إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft²، فكم مقعداً يتسع المسرح؟

8906 مقاعد تقريباً.

46) أمن: يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على شكل جزء من قطاع دائري محدَّد بالمتباينتين $\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$ ، $x \leq r \leq 20$ حيث r بالأقدام، إذا كانت مساحة المنطقة 314.16 ft²، كما هو مبين في الشكل أدناه، فأوجد قيمة x.

التمثيل القطبي

10 ft تقريباً.

أوجد الإحداثي المجهول الذي يحقِّق الشروط المعطاة في كل مما يأتي:

47) P1 = (3, 35°) , P2 = (r, 75°) , P1P2 = 4.174

r = -1.40 أو r = 6

48) $P_{1} P_{2} = 4, 0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ , $P_{1} = (5, 125^{\circ}), P_{2} = (2, θ)$

$θ \approx 75 .5 و أ 7 \approx 174 {.46}^{\circ}$

49) $P_{1} = (3, θ), P_{2} = (4, \frac{7 π}{9}), P_{1} P_{2} = 5, 0 \leq θ \leq π$

$θ \approx \frac{5 π}{18}$

50) P1 = (r, 120°) , P2 = (4, 160°) , P1P2 = 3.297

$r \approx 5 .13 أو r \approx 1$

51) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستقصي العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية.

a) بيانياً: عيّن $A (2, \frac{π}{3})$ في المستوى القطبي، وارسم نظام الإحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة
الأصل على القطب، والجزء الموجب من المحور x على المحور القطبي، وبالتالي سينطبق المحور y على المستقيم $θ = \frac{π}{2}$ ، ارسم مثلثاً قائماً بوصل A مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x.

التمثيل القطبي

b) عددياً: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية.

$\begin{matrix} x = r \cos \frac{π}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \\ y = r \sin \frac{π}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{matrix}$

c) بيانياً: عيّن $B (4, \frac{5 π}{6})$ ، على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثاً قائماً بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة.

التمثيل القطبي

d) تحليلياً: كيف ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالإحداثيات الديكارتية لكل نقطة؟

يمثِّل طولا الضلعين الأفقي والرأسي القيمة المطلقة للإحداثيين x, y على الترتيب.

e) تحليلياً: اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية $(r, θ)$ ، والإحداثيات الديكارتية (x,y).

إذا كانت إحداثيات النقطة القطبية ( $θ$ , r)، فإن إحداثياتها الديكارتية هي ( $θ$ r cos $θ$ , r sin)

اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي:

52)

التمثيل القطبي

إجابة ممكنة $θ = \frac{π}{12}$

53)

التمثيل القطبي

r = 2.5 أو r = -2.5

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الإحداثيات القطبية

تدرب وحل المسائل

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

1) R(1 , 120°)

التمثيل القطبي

2) T(-2.5 , 330°)

التمثيل القطبي

3) $F (- 2, \frac{2 π}{3})$

التمثيل القطبي

4) $A (3, \frac{π}{6})$

التمثيل القطبي

5) B(5 , -60°)

التمثيل القطبي

6) $D (- 1, - \frac{5 π}{3})$

التمثيل القطبي

7) $G (3.5, - \frac{11 π}{6})$

التمثيل القطبي

8) C(-4 , $π$ )

التمثيل القطبي

9) M(0.5 , 270°)

التمثيل القطبي

10) W(-1.5 , 150°)

التمثيل القطبي

11) رماية: يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز، ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب، افترض أن رامياً يستعمل هدفاً نصف قطره 120 cm، وأنه قد أطلق ثلاثة أسهم، فأصابت الهدف عند النقاط (° 240 , 30), (° 315 , 82), (° 45 , 114)، إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه، ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية.

رماية

a) فمثّل النقاط التي أصابها الرَّامي في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

b) ما مجموع النقاط التي حصل عليها الرَّامي؟

13 نقطة.

إذا كانت $- 360^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$ فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كلّ مما يأتي:

(1 , 150°) (12

(-1, 330°), (1,-210°), (-1,-30°)

(-2 , 300°) (13

(2, 120°), (2, -240°), (-2, -60°)

$(4, - \frac{7 π}{6})$ (14

$(4, \frac{5 π}{6}), (- 4, \frac{11 π}{6}), (- 4, \frac{- π}{6})$

$(- 3, \frac{2 π}{3})$ (15

$(3, \frac{5 π}{3}), (3, \frac{- π}{3}), (- 3, \frac{- 4 π}{3})$

$(5, \frac{11 π}{6})$ (16

$(5, \frac{- π}{6}), (- 5, \frac{5 π}{6}), (- 5, \frac{- 7 π}{6})$

$(- 5, - \frac{4 π}{3})$ (17

$(5, \frac{5 π}{3}), (5, \frac{- π}{3}), (- 5, \frac{2 π}{3})$

(2 , -30°) (18

(2, 330°), (-2, 150°), (-2, -210°)

(-1 , -240°) (19

(1, 300°), (1, -60°), (-1, 120°)

مثّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانياً:

20) r = 1.5

التمثيل القطبي

21) $θ$ = 225°

التمثيل القطبي

22) $θ = - \frac{7 π}{6}$

التمثيل القطبي

23) r = -3.5

التمثيل القطبي

24) القفز بالمظلات: في مسابقة لتحديد دقة موقع الهبوط، يحاول مظلي الوصول إلى مركز الهدف المحدد ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها 2 m، كما يشمل الهدف دائرتين طولا نصفي قطريهما 10m ،20m.

الهدف المحدد للقفز المظلي

a) اكتب 3 معادلات قطبية تمثّل حدود المناطق الثلاث للهدف.

r = 1, r = 10, r = 20

b) مثّل هذه المعادلات في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي.

(2 , 30°) , (5 , 120°) (25

5.39

$(3, \frac{π}{2}), (8, \frac{4 π}{3})$ (26

10.70

(6 , 45°) , (-3 , 300°) (27

5.97

$(7, - \frac{π}{3}), (1, \frac{2 π}{3})$ (28

$(- 5, \frac{7 π}{6}), (4, \frac{π}{6})$ (29

(4 , -315°) , (1 , 60°) (30

3.05

(-2 , -30°) , (8 , 210°) (31

7.21

$(- 3, \frac{11 π}{6}), (- 2, \frac{5 π}{6})$ (32

$(1, - \frac{π}{4}), (- 5, \frac{7 π}{6})$ (33

4.84

(7 , - 90°) , (- 4 ,- 330°) (34

6.08

$(8, - \frac{2 π}{3}), (4, - \frac{3 π}{4})$ (35

4.26

(- 5 , 135°) , (-1 , 240°) (36

5.35

37) مساحون: أراد مسَّاح تحديد حدود قطعة أرض، فحدد أثراً يبعد 223 ft، بزاوية °45 إلى يسار المركز، وأثراً آخر على بعد 418 ft، بزاوية °67 إلى يمين المركز، كما في الشكل أدناه، أوجد المسافة بين الأثرين.

حدود قطعة أرض

542.5 ft

38) مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثّل جزءاً من دائرة، وتحدَّد بالمتباينتين $- 60^{\circ} \leq θ \leq 150^{\circ}, 0 \leq r \leq 40$ حيث r بالأمتار.

a) مثّل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن لآلة التصوير مراقبتها.

التمثيل القطبي

b) أوجد مساحة المنطقة (مساحة القطاع الدائري تساوي: $الدائرة مساحة \times \frac{بالدرجات القطاع زاوية قياس}{360 °}$ ).

حوالي 2932.2m²

إذا كانت $0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ فأوجد زوجاً آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي:

(5 , 960°) (39

(-5, 60°)

$(- 2.5, \frac{15 π}{6})$ (40

$(- 2 .5, \frac{π}{2})$

$(4, \frac{33 π}{12})$ (41

$(4, \frac{3 π}{4})$

(1.25 ,-920°) (42

(1.25, 160°)

$(- 1, - \frac{21 π}{8})$ (43

$(1, \frac{3 π}{8})$

(-6 , -1460°) (44

(6, 160°)

45) مسرح: يلقي شاعر قصيدة في مسرح، ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي، بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور
القطبي، افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين $- \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4}, 30 \leq r \leq 240$ حيث r بالأقدام.

a) مثّل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

b) إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft²، فكم مقعداً يتسع المسرح؟

8906 مقاعد تقريباً.

46) أمن: يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على شكل جزء من قطاع دائري محدَّد بالمتباينتين $\frac{π}{6} \leq θ \leq \frac{5 π}{6}$ ، $x \leq r \leq 20$ حيث r بالأقدام، إذا كانت مساحة المنطقة 314.16 ft²، كما هو مبين في الشكل أدناه، فأوجد قيمة x.

التمثيل القطبي

10 ft تقريباً.

أوجد الإحداثي المجهول الذي يحقِّق الشروط المعطاة في كل مما يأتي:

47) P1 = (3, 35°) , P2 = (r, 75°) , P1P2 = 4.174

r = -1.40 أو r = 6

48) $P_{1} P_{2} = 4, 0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ , $P_{1} = (5, 125^{\circ}), P_{2} = (2, θ)$

$θ \approx 75 .5 و أ 7 \approx 174 {.46}^{\circ}$

49) $P_{1} = (3, θ), P_{2} = (4, \frac{7 π}{9}), P_{1} P_{2} = 5, 0 \leq θ \leq π$

$θ \approx \frac{5 π}{18}$

50) P1 = (r, 120°) , P2 = (4, 160°) , P1P2 = 3.297

$r \approx 5 .13 أو r \approx 1$

51) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستقصي العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية.

a) بيانياً: عيّن $A (2, \frac{π}{3})$ في المستوى القطبي، وارسم نظام الإحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة
الأصل على القطب، والجزء الموجب من المحور x على المحور القطبي، وبالتالي سينطبق المحور y على المستقيم $θ = \frac{π}{2}$ ، ارسم مثلثاً قائماً بوصل A مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x.

التمثيل القطبي

b) عددياً: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية.

$\begin{matrix} x = r \cos \frac{π}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \\ y = r \sin \frac{π}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \end{matrix}$

c) بيانياً: عيّن $B (4, \frac{5 π}{6})$ ، على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثاً قائماً بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة.

التمثيل القطبي

d) تحليلياً: كيف ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالإحداثيات الديكارتية لكل نقطة؟

يمثِّل طولا الضلعين الأفقي والرأسي القيمة المطلقة للإحداثيين x, y على الترتيب.

e) تحليلياً: اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية $(r, θ)$ ، والإحداثيات الديكارتية (x,y).

إذا كانت إحداثيات النقطة القطبية ( $θ$ , r)، فإن إحداثياتها الديكارتية هي ( $θ$ r cos $θ$ , r sin)

اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي:

52)

التمثيل القطبي

إجابة ممكنة $θ = \frac{π}{12}$

53)

التمثيل القطبي

r = 2.5 أو r = -2.5

حلول الأسئلة

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

1) R(1 , 120°)

2) T(-2.5 , 330°)

3)

4)

5) B(5 , -60°)

6)

7)

8) C(-4 ,)

9) M(0.5 , 270°)

10) W(-1.5 , 150°)

a) فمثّل النقاط التي أصابها الرَّامي في المستوى القطبي.

b) ما مجموع النقاط التي حصل عليها الرَّامي؟

إذا كانت فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كلّ مما يأتي:

(1 , 150°) (12

(-2 , 300°) (13

(14

(15

(16

(17

(2 , -30°) (18

(-1 , -240°) (19

مثّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانياً:

20) r = 1.5

21) = 225°

22)

23) r = -3.5

a) اكتب 3 معادلات قطبية تمثّل حدود المناطق الثلاث للهدف.

b) مثّل هذه المعادلات في المستوى القطبي.

أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي.

(2 , 30°) , (5 , 120°) (25

(26

(6 , 45°) , (-3 , 300°) (27

(28

(29

(4 , -315°) , (1 , 60°) (30

(-2 , -30°) , (8 , 210°) (31

(32

(33

(7 , - 90°) , (- 4 ,- 330°) (34

(35

(- 5 , 135°) , (-1 , 240°) (36

38) مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثّل جزءاً من دائرة، وتحدَّد بالمتباينتين حيث r بالأمتار.

a) مثّل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن لآلة التصوير مراقبتها.

b) أوجد مساحة المنطقة (مساحة القطاع الدائري تساوي: ).

إذا كانت فأوجد زوجاً آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي:

(5 , 960°) (39

(40

(41

(1.25 ,-920°) (42

(43

(-6 , -1460°) (44

a) مثّل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي.

b) إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft 2، فكم مقعداً يتسع المسرح؟

أوجد الإحداثي المجهول الذي يحقِّق الشروط المعطاة في كل مما يأتي:

47) P1 = (3, 35°) , P2 = (r, 75°) , P1P2 = 4.174

48) ,

49)

50) P1 = (r, 120°) , P2 = (4, 160°) , P1P2 = 3.297

51) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستقصي العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية.

b) عددياً: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية.

c) بيانياً: عيّن ، على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثاً قائماً بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة.

d) تحليلياً: كيف ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالإحداثيات الديكارتية لكل نقطة؟

e) تحليلياً: اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية ، والإحداثيات الديكارتية (x,y).

اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي:

52)

53)

مشاركة الدرس

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

1) R(1 , 120°)

2) T(-2.5 , 330°)

3)

4)

5) B(5 , -60°)

3) $F (- 2, \frac{2 π}{3})$

4) $A (3, \frac{π}{6})$

6) $D (- 1, - \frac{5 π}{3})$

7) $G (3.5, - \frac{11 π}{6})$

8) C(-4 , $π$ )

إذا كانت $- 360^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$ فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كلّ مما يأتي:

$(4, - \frac{7 π}{6})$ (14

$(- 3, \frac{2 π}{3})$ (15

$(5, \frac{11 π}{6})$ (16

$(- 5, - \frac{4 π}{3})$ (17

21) $θ$ = 225°

22) $θ = - \frac{7 π}{6}$

$(3, \frac{π}{2}), (8, \frac{4 π}{3})$ (26

$(7, - \frac{π}{3}), (1, \frac{2 π}{3})$ (28

$(- 5, \frac{7 π}{6}), (4, \frac{π}{6})$ (29

$(- 3, \frac{11 π}{6}), (- 2, \frac{5 π}{6})$ (32

$(1, - \frac{π}{4}), (- 5, \frac{7 π}{6})$ (33

$(8, - \frac{2 π}{3}), (4, - \frac{3 π}{4})$ (35

38) مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثّل جزءاً من دائرة، وتحدَّد بالمتباينتين $- 60^{\circ} \leq θ \leq 150^{\circ}, 0 \leq r \leq 40$ حيث r بالأمتار.

b) أوجد مساحة المنطقة (مساحة القطاع الدائري تساوي: $الدائرة مساحة \times \frac{بالدرجات القطاع زاوية قياس}{360 °}$ ).

إذا كانت $0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ فأوجد زوجاً آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي:

$(- 2.5, \frac{15 π}{6})$ (40

$(4, \frac{33 π}{12})$ (41

$(- 1, - \frac{21 π}{8})$ (43

b) إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft²، فكم مقعداً يتسع المسرح؟

48) $P_{1} P_{2} = 4, 0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ , $P_{1} = (5, 125^{\circ}), P_{2} = (2, θ)$

49) $P_{1} = (3, θ), P_{2} = (4, \frac{7 π}{9}), P_{1} P_{2} = 5, 0 \leq θ \leq π$

c) بيانياً: عيّن $B (4, \frac{5 π}{6})$ ، على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثاً قائماً بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة.

e) تحليلياً: اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية $(r, θ)$ ، والإحداثيات الديكارتية (x,y).

3) $F (- 2, \frac{2 π}{3})$

4) $A (3, \frac{π}{6})$

6) $D (- 1, - \frac{5 π}{3})$

7) $G (3.5, - \frac{11 π}{6})$

8) C(-4 , $π$ )

إذا كانت $- 360^{\circ} \leq θ \leq 360^{\circ}$ فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كلّ مما يأتي:

$(4, - \frac{7 π}{6})$ (14

$(- 3, \frac{2 π}{3})$ (15

$(5, \frac{11 π}{6})$ (16

$(- 5, - \frac{4 π}{3})$ (17

21) $θ$ = 225°

22) $θ = - \frac{7 π}{6}$

$(3, \frac{π}{2}), (8, \frac{4 π}{3})$ (26

$(7, - \frac{π}{3}), (1, \frac{2 π}{3})$ (28

$(- 5, \frac{7 π}{6}), (4, \frac{π}{6})$ (29

$(- 3, \frac{11 π}{6}), (- 2, \frac{5 π}{6})$ (32

$(1, - \frac{π}{4}), (- 5, \frac{7 π}{6})$ (33

$(8, - \frac{2 π}{3}), (4, - \frac{3 π}{4})$ (35

38) مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثّل جزءاً من دائرة، وتحدَّد بالمتباينتين $- 60^{\circ} \leq θ \leq 150^{\circ}, 0 \leq r \leq 40$ حيث r بالأمتار.

b) أوجد مساحة المنطقة (مساحة القطاع الدائري تساوي: $الدائرة مساحة \times \frac{بالدرجات القطاع زاوية قياس}{360 °}$ ).

إذا كانت $0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ فأوجد زوجاً آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي:

$(- 2.5, \frac{15 π}{6})$ (40

$(4, \frac{33 π}{12})$ (41

$(- 1, - \frac{21 π}{8})$ (43

b) إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft²، فكم مقعداً يتسع المسرح؟

48) $P_{1} P_{2} = 4, 0 \leq θ \leq 180^{\circ}$ , $P_{1} = (5, 125^{\circ}), P_{2} = (2, θ)$

49) $P_{1} = (3, θ), P_{2} = (4, \frac{7 π}{9}), P_{1} P_{2} = 5, 0 \leq θ \leq π$

c) بيانياً: عيّن $B (4, \frac{5 π}{6})$ ، على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثاً قائماً بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة.

e) تحليلياً: اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية $(r, θ)$ ، والإحداثيات الديكارتية (x,y).