اختبار الفصل

في كل علاقة مما يأتي، حدد ما إذا كانت y تمثل دالة في x:

1) x=y²-5

ليست دالة.

2)

دالة.

3) $y=\sqrt{x^2+3}$

دالة.

4) موقف سيارات: يتقاضى موقف للسيارات مبلغ 3 ريالات مقابل كل ساعة أو جزء من الساعة لأول ثلاث ساعات، فإذا زادت المدة عن الثلاث ساعات، فإنه يتقاضى 15ريالاً عن المدة كلها.

a) اكتب دالة c(x) تمثل تكلفة وقوف سيارة مدة x من الساعات.

$c\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}3x& ,x\le 3\\ 15& ,x>3\end{array}\right\}$

b) أوجد c(2.5).

حوالي 7.5 ريال.

c) عين مجال الدالة c(x) وبرر إجابتك.

المجال [0,24] يجب أن يكون عدد الساعات أكبر من 0 وأقل من 24 ساعة

حدد مجال كل دالة من الدالتين الممثلتين أدناه ومداها:

5)

• المجال: $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$
• المدى: $[-2,\mathrm{\infty })$

6)

• المجال: $(-\mathrm{\infty },5]$
• المدى: $[0,\mathrm{\infty })$

أوجد المقطع y والأصفار لكل دالة من الدالتين الآتيتين:

7) f(x)=4x²-8x-12

• المقطع y: -12
• الأصفار: 1,3-

8) f(x)=x³+4x²+3x

• المقطع y: 0
• الأصفار: 3-,1,0-

9) اختيار من متعدد: أي العلاقات الآتية متماثلة حول المحور x ؟

x²-yx=2-

x³y = 8

|y = |x

y²=-4x-

حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلة عند 3=x، وإذا كانت غير متصلة، فحدد نوع عدم الاتصال: لا نهائي، قفزي، قابل للإزالة.

10) $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rl}2x,& x<3\\ 9-x,& x\ge 3\end{array}\right\}$

متصلة.

11) $f\left(x\right)=\frac{x-3}{x^2-9}$

غير متصلة، عدم اتصال قابل للإزالة.

أوجد متوسط معدل التغير لكل دالة من الدالتين الآتيتين في الفترة [2,6-]:

12) f(x)=-x⁴+3x

$\begin{array}{rl}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=& \frac{f\left(6\right)-f(-2)}{6+2}\\ & =\frac{-1278+22}{8}-157\end{array}$

13) $f\left(x\right)=\sqrt{x+3}$

$\begin{array}{rl}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=& \frac{f\left(6\right)-f(-2)}{6+2}\\ & =\frac{3-1}{8}=\frac{1}{4}\end{array}$

استعمل منحنى كل من الدالتين الآتيتين لتقدير الفترات التي تكون عندها الدالة متزايدة أو متناقصة إلى أقرب 0.5 وحدة.

14)

الدالة متزايدة على الفترة $(-\mathrm{\infty },2.5)$ ومتناقصة على الفترة $(2.5,\mathrm{\infty })$

15)

• الدالة متناقصة على الفترة $(-\mathrm{\infty },-1.5)$.
• الدالة متزايدة على الفترة (1.5,0-).
• الدالة متناقصة على الفترة (0,1.5).
• الدالة متزايدة على الفترة $(1.5,\mathrm{\infty })$.

16) استعمل التمثيل البياني للدالة في السؤال 14 أعلاه، وقدر قيمة x التي يكون للدالة عندها قيمة قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة وبين نوعها.

x=2.5 ونوعها عظمى مطلقة.

17) اختيار من متعدد: أي الدوال الآتية يمثلها التمثيل البياني المجاور؟

• $f\left(x\right)=|x-4|-3$
• $f\left(x\right)=|x-4|+3$
• $f\left(x\right)=|x+4|-3$
• $f\left(x\right)=|x+4|+3$

18) عين الدالة الرئيسية (الأم) $g\left(x\right)=-(x+3{)}^3$، ثم مثل الدالة g(x) بيانياً.

f(x)=x³

إذا كانت f(x)=x-6, g(x)= x²-36، فأوجد كل دالة من الدالتين الآتيتين، ثم أوجد مجالها.

19) $\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)$

$=\frac{1}{x+6}$

المجال: $\{x\mid x\ne -6,x\ne 6,x\in R\}$

20) $[g\circ f]\left(x\right)$

x²-12=

المجال: $\{x\mid x\in R\}$

21) درجة الحرارة: تستعمل معظم دول العالم الدرجات السيليزية C لقياس درجة الحرارة، والمعادلة التي تربط بين درجات الحرارة السيليزية C والفهرنهايتية F هي $F=\frac{9}{5}C+32$.

a) اكتب C كدالة نسبية بالنسبة إلى F.

$C=\frac{5}{9}(F-32)$

b) أوجد دالتين g, f بحيث يكون $C=[f\circ g]\left(F\right)$.

$g\left(F\right)=F-32\cdot f\left(F\right)=\frac{5}{9}F$

بين ا إذا كان للدالة f دالة عكسية أم لا في كل مما يأتي، أوجدها في حالة وجودها، وحدد أية قيود على مجالها.

22) $f\left(x\right)=(x-2{)}^3$

$f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2$

23) $f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-8}$

$$\begin{gathered} x\ne 1 \\ {f}^{-1}\left(x\right)=\frac{8x+3}{x-1} \end{gathered}$$

24) $f\left(x\right)=\sqrt{4-x}$

$$\begin{gathered} x\ge 4 \\ {f}^{-1}\left(x\right)=4-x^2 \end{gathered}$$

25) f(x)=x²-16

لا يوجد معكوس للدالة f.